Matriu densitat

La matriu densitat, o operador densitat és una entitat matemàtica introduïda per John von Neumann. Permet resumir en una sola matriu tot el conjunt possible dels estats quàntics d'un sistema físic donat a un instant donat, combinant així la mecànica quàntica i la física estadística.

Definició

El concepte de matriu densitat generalitza el de vector d'estat a sistemes barreja. Donat un vector d'estat que pertany a un espai de Hilbert ${\displaystyle H}$, considerem el conjunt d'aplicacions lineals ${\displaystyle L(H)}$ que hi actuen. Si ${\displaystyle \{|i\rangle \}_{i=1}^{d}\in \mathbb {C} ^{d}}$ és una base ortonormal de ${\displaystyle H}$ i ${\displaystyle M\in L(H)}$, podem expressar ${\displaystyle M}$ com a una matriu amb elements ${\displaystyle M_{ij}=\langle i|M|j\rangle }$.

A més, si considerem només les aplicacions lineals que projecten estats vàlids sobre estats vàlids, trobem que un operador ${\displaystyle \rho \in L(H)}$ ha de complir les següents propietats:

1. Ha de ser hermític: ${\displaystyle \rho =\rho ^{\dagger }}$.
2. Ha de ser semidefinit positiu: ${\displaystyle \rho \geq 0}$.
3. Ha de tenir traça unitària: ${\displaystyle Tr(\rho )=1}$

El conjunt ${\displaystyle D(H)\subset L(H)}$ que compleix aquestes propietats és el conjunt d'operadors densitat.

Estat pur

L'estat és pur si es pot descriure amb un sol vector en l'espai de Hilbert ${\displaystyle |\psi \rangle \in H}$.

En aquest cas, l'operador densitat és simplement l'operador de projecció de ${\displaystyle L(H)}$ sobre l'espai generat per ${\displaystyle |\psi \rangle }$, amb rang 1:

${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |}$

Estat mixt

Un estat és mixt quan no es correspon amb un únic vector d'estat. Sempre, però, es pot expressar com a una suma ponderada d'estats:

${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|\neq |\psi \rangle \langle \psi |}$

Cal remarcar que els ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$ poden estar expressats en qualsevol base, de manera que ${\displaystyle \rho }$ en general no és diagonal.

Classificació

Si considerem un estat general ${\displaystyle \rho =\sum _{i,j}\rho _{ij}|i\rangle \langle j|}$, emprant les propietats de l'operador densitat podem determinar que es pot diagonalitzar de manera que ${\displaystyle \rho =\sum _{i}\lambda _{i}|u_{i}\rangle \langle u_{i}|}$, on ${\displaystyle \{\lambda _{i}\}}$ i ${\displaystyle \{u_{i}\}}$ són respectivament els autovalors i els autovectors de ${\displaystyle \rho }$. A més, ${\displaystyle \lambda _{i}\geq 0}$ i ${\displaystyle \sum _{i}\lambda _{i}=1}$, de manera que els valors propis es poden interpretar com a probabilitats. ${\displaystyle \rho }$ és una col·lectivitat d'estats descrits per ${\displaystyle \{u_{i}\}}$ on obtenim cadascun amb probabilitat ${\displaystyle \lambda _{i}}$.

D'això en podem concloure que els estats purs corresponen a un cas concret d'estats mixts, pels quals un dels ${\displaystyle \lambda _{i}}$ pren valor unitat i la resta són zero.

Pel contrari, un estat serà mixt si més d'un ${\displaystyle \lambda _{i}}$ és diferent a zero.

En termes del rang de ${\displaystyle \rho }$, l'estat és pur si ${\displaystyle {\text{rang}}(\rho )=1}$ i mixt en la resta de casos.

Convexitat

El conjunt de matrius densitat ${\displaystyle D(H)}$ és convex: ${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2}\in D(H)\implies (1-p)\rho _{1}+p\rho _{2}\in D(H)\quad \forall p\in [0,1]}$.

El conjunt d'estats purs correspon als vèrtexs de ${\displaystyle D(H)}$, ja que per definició els estats purs no es poden expressar com a combinació convexa de dos altres estats.

Evolució amb el temps

L'evolució temporal del vector d'estat vé donada per l'equació de Schrödinger depenent del temps:

${\displaystyle {\hat {H}}\left|\Psi (t)\right\rangle =i\hbar {d \over dt}\left|\Psi (t)\right\rangle }$

També es pot expressar en termes de la matriu densitat, obtenint llavors l'equació de Liouville-Von Neumann:

${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {\rho }}]=i\hbar {d \over dt}{\hat {\rho }}}$

Quantificació del nivell de barreja

La puresa d'un estat ${\displaystyle \rho }$ es defineix com a:

${\displaystyle {\text{puresa}}(\rho )={\text{tr}}(\rho ^{2})=\sum _{i}\lambda _{i}^{2}}$

Amb ${\displaystyle \lambda _{i}}$ els autovalors de ${\displaystyle \rho }$. Per a un estat pur, la puresa és 1, i per a un estat mixt, ${\displaystyle 1/d\leq {\text{puresa}}(\rho )\leq 1}$, on ${\displaystyle d}$ és la dimensió de l'espai de Hilbert.

Similarment, es pot definir l'entropia de von Neumann:

${\displaystyle S=-{\text{Tr}}(\rho \log _{2}(\rho ))=-\sum _{i}\lambda _{i}\log _{2}(\lambda _{i})}$

L'entropia d'un estat pur és nul·la, car no hi ha cap incertesa sobre l'estat del sistema. Es pot demostrar que, per a un estat mixt, ${\displaystyle 0\leq S(\rho )\leq \log _{2}(d)}$.

La màxima puresa i mínima entropia corresponen als estats purs, mentre que la mínima puresa i màxima entropia s'assoleixen amb l'estat ${\displaystyle \rho =\mathbb {I} /d}$, amb ${\displaystyle \mathbb {I} }$ la matriu identitat. Aquest darrer estat s'anomena estat màximament barrejat.