Matriu hermítica

Una matriu hermítica és una matriu complexa que és igual a la seva conjugada-transposada. S'anomena així en honor de Charles Hermite.

Així, una matriu (quadrada) d'elements complexos és hermítica si i només si un element a la filera i i columna j és igual al conjugat complex de l'element de la filera j i columna i, és a dir : per tots els índexs i, j:

${\displaystyle a_{i,j}={\overline {a_{j,i}}}}$

(cal recordar que el conjugat complex ${\displaystyle {\overline {z}}}$ d'un nombre complex ${\displaystyle \ z}$ és aquell nombre amb la mateixa part real i la part imaginària oposada).

Un exemple de matriu hermítica és el següent:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&2+i\\2-i&1\end{bmatrix}}}$

En particular, una matriu real és hermitíca si i només si és simètrica.

Qualsevol matriu hermítica n x n és normal, i per consegüent és diagonalitzable. La matriu diagonal obtinguda només té elements reals: en altres paraules, els valors propis d'una matriu hermítica sempre són reals. A més, els subespais propis de la matriu són ortogonals de dos en dos: existeix una base ortonormal de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ constituïda amb vectors propis de la matriu.