Nombre semienter

En matemàtiques, un nombre semienter és un nombre definit de la forma

${\displaystyle n+{1 \over 2}}$,

on ${\displaystyle n}$ és enter. Per exemple,

4½, 7/2, −13/2, 8.5

són tots semienters.

Els semienters ocorren molt sovint en contextos matemàtics, i per això és convenient un terme especial. Cal notar que la meitat d'un enter no és sempre un semienter: la meitat d'un enter parell és un enter, però no un semienter. Els semienters són precisament els nombres que són la meitat d'un enter senar, i per aquesta raó també són anomenats senars semienters. Els semienters són un cas especial dels racionals diàdics, nombres que poden ser formats dividint un enter sobre una potència de dos.^[1]

Notació i estructures algebraiques

El conjunt de tots els semienters és comunament denotat com a

${\displaystyle \mathbb {Z} +{1 \over 2}.}$

Els enters i semienters junts formen un grup sota l'operació de la suma, la qual pot ser denotada com^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\mathbb {Z} }$.

No obstant això, aquests nombres no formen un anell, ja que el producte de dos semienters no pot ser un semienter.^[3]

Usos

Empaquetament d'esferes

L'empaquetament compacte d'esferes unitàries en quatre dimensions, anomenada xarxa D₄, col·loca una esfera en cada punt les coordenades siguin totes enteres o semienteres. Aquest empaquetament està estretament relacionat amb els enters de Hurwitz, els quals són quaternions amb coeficients reals que són tots enters o semienters.^[4]

Física

En física, el principi d'exclusió de Pauli és el resultat de la definició dels fermions com partícules que tenen espins, els quals són semienters.^[5]

El nivell energètic de l'oscil·lador harmònic quàntic ocorren a semienters i, per tant, el seu nivell més baix d'energia no és zero.^[6]

Volum d'una esfera

Encara que la funció factorial només es defineix per als arguments enters, es pot ampliar a arguments fraccionaris utilitzant la funció gamma. La funció gamma per a semienters és una part important de la fórmula per al volum d'una bola n-dimensional de radi R,^[7]

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n}.}$

Els valors de la funció gamma en semienters són múltiples enters de l'arrel quadrada de π:

${\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}}$

on n!! denota el doble factorial.

Referències