Limita funkce

Limita funkce je matematická konstrukce vyjadřující, že se hodnoty zadané funkce blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se zapisuje ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}f(x)=A}$.

Hlavní motivací pro používání limit je možnost „opravit“ chování funkce. Pokud nelze hodnotu funkce v určitém bodě spočítat (např. kvůli dělení nulou), ale v jeho okolí se chová „rozumně“, funkci můžeme opravit tak, že její funkční hodnotu v problematickém bodě nahradíme limitou. Zda se funkce v okolí určitého bodu chová rozumně, lze poznat podle toho, že limita existuje.

Limita funkce je základní pojem v matematické analýze, v diferenciálním a integrálním počtu. Například definice spojitosti funkce používají limitu: funkce je spojitá, pokud se její funkční hodnota v každém bodě rovná její limitě v tomto bodě.

Definice

Definice podle Cauchyho

Číslo ${\displaystyle A\in \mathbb {R} }$ je limitou funkce ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ v bodě ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$, jestliže k libovolnému ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existuje takové ${\displaystyle \delta >0}$, že pro všechna ${\displaystyle x\in D_{f}}$ taková, že ${\displaystyle \left|x-a\right|<\delta }$ (${\displaystyle x}$ leží v prstencovém okolí bodu ${\displaystyle a}$) platí ${\displaystyle \left|f(x)-A\right|<\varepsilon }$.

Limitu má smysl zkoumat jen v definičním oboru funkce neobsahujícím bod ${\displaystyle a}$, tj. libovolně blízko k bodu ${\displaystyle a}$ musí být funkce definována.

Definice podle Heineho

Číslo ${\displaystyle A\in \mathbb {R} }$ je limitou funkce ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ v hromadném bodě ${\displaystyle a}$ definičním oboru funkce, jestliže pro každou posloupnost ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$, kde ${\displaystyle x_{n}\in D(f)-\{a\}}$ a ${\displaystyle x_{n}\rightarrow a}$ platí ${\displaystyle f(x_{n})\rightarrow A}$.

Heineho a Cauchyova definice jsou ekvivalentní. Heineho se používá k výpočtu limit, Cauchyova častěji k důkazům.

Definice pomocí spojitosti

V definici spojitosti funkce obvykle figuruje limita. Přímým důsledkem takové definice je fakt, že v bodě, ve kterém je funkce spojitá, je limita rovna funkční hodnotě. Je však možné nadefinovat spojitost i nezávisle, například Cauchyho definice spojitosti. Potom je možné limitu zavést tak, že platí

právě tehdy, když je funkce ${\displaystyle g(x)}$ definovaná předpisemspojitá v bodě ${\displaystyle a}$. Tato definice nejlépe vystihuje hlavní motivaci pro pojem limita funkce (možnost „opravit“ chování funkce, viz úvod).

Limita zprava a zleva

Funkce ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ má v bodě ${\displaystyle a}$ jednostrannou limitu ${\displaystyle A}$ zleva resp. zprava, jestliže k libovolnému číslu ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existuje číslo ${\displaystyle \delta >0}$ takové, že pro všechna ${\displaystyle x\in D_{f}-\{a\}}$ splňující podmínku ${\displaystyle x\in (a-\delta ,a)}$ resp. ${\displaystyle x\in (a,a+\delta )}$, tj. pro všechna ${\displaystyle x}$ z levého resp. pravého okolí bodu ${\displaystyle a}$, platí ${\displaystyle |f(x)-A|<\varepsilon }$, tj.:

${\displaystyle \lim _{x\to a-}f(x)=A\;}$ - limita zleva

${\displaystyle \lim _{x\to a+}f(x)=A\;}$ - limita zprava

Funkce ${\displaystyle f(x)}$ má v bodě ${\displaystyle a}$ limitu právě tehdy, pokud má v tomto bodě současně limitu zleva i zprava a tyto limity se rovnají, např. funkce ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ nemá v bodě nula limitu, ačkoliv má obě jednostranné limity:

${\displaystyle \lim _{x\to 0-}{\frac {1}{x}}=-\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to 0+}{\frac {1}{x}}=\infty }$

Limita funkce více proměnných

Funkce ${\displaystyle n}$-proměnných ${\displaystyle f:\mathbb {R^{n}} \rightarrow \mathbb {R} }$ má v bodě ${\displaystyle A=[a_{1},a_{2},...,a_{n}]}$ limitu ${\displaystyle B}$, jestliže k libovolnému číslu ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existuje číslo ${\displaystyle \delta >0}$ takové, že pro všechny body ${\displaystyle X=[x_{1},x_{2},...,x_{n}]}$ z ${\displaystyle \delta }$-okolí bodu ${\displaystyle A}$ s výjimkou samotného bodu ${\displaystyle A}$ platí ${\displaystyle |f(X)-B|<\varepsilon }$. Takovou limitu značíme některým z následujících způsobů:

• ${\displaystyle \lim _{X\to A}f(X)=B}$
• ${\displaystyle \lim _{[x_{1},x_{2},...,x_{n}]\to A}f(X)=B}$
• ${\displaystyle \lim _{[x_{1},x_{2},...,x_{n}]\to [a_{1},a_{2},...,a_{n}]}f(X)=B}$
• ${\displaystyle \lim _{\begin{matrix}x_{1}\to a_{1}\\x_{2}\to a_{2}\\\vdots \\x_{n}\to a_{n}\end{matrix}}f(X)=B}$

U funkce ${\displaystyle n}$-proměnných je možné provádět limitní přechod nejen vůči všem proměnným, ale také vzhledem k pouze několika proměnným, např. ${\displaystyle \lim _{x_{1}\to a_{1}}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=g(x_{2},x_{3},...,x_{n})}$, kde ${\displaystyle g}$ je funkcí ${\displaystyle n-1}$ proměnných.

Limita komplexní funkce

Komplexní funkce ${\displaystyle f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$ definovaná v okolí bodu ${\displaystyle z_{0}}$ má v bodě ${\displaystyle z_{0}}$ limitu ${\displaystyle A}$, jestliže k libovolnému ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existuje ${\displaystyle \delta }$-okolí bodu ${\displaystyle z_{0}}$ takové, že

${\displaystyle |f(z)-A|<\varepsilon }$.

Limitu v bodě ${\displaystyle z_{0}}$ zapisujeme:

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)=A}$,

kde limita ${\displaystyle A}$ může být komplexním číslem.

Nevlastní limita v nevlastním bodě

Pro limitu funkce ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ rozlišujeme: vlastní limita v vlastním bodě, nevlastní limita v vlastním bodě, vlastní limita v nevlastním bodě a nevlastní limita v nevlastním bodě:

• Limitu funkce ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=A\in \mathbb {R} }$ nazýváme vlastní limitou funkce ${\displaystyle f}$ ve vlastním bodě ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$.
• Limitu funkce ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\pm \infty }$ nazýváme nevlastní limitou funkce ${\displaystyle f}$ ve vlastním bodě ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$.
• Limitu funkce ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }f(x)=A\in \mathbb {R} }$ nazýváme vlastní limitou funkce ${\displaystyle f}$ v nevlastním bodě.
• Limitu funkce ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }f(x)=\pm \infty }$ nazýváme nevlastní limitou funkce ${\displaystyle f}$ v nevlastním bodě.

Nevlastní limitu ve vlastním bodě lze definovat také zprava nebo zleva, bereme-li pouze pravé nebo levé okolí bodu ${\displaystyle a}$.

Příklady

Příklad vlastní limity ve vlastním bodě:

${\displaystyle \lim _{x\to 3}2x=6}$

Příklad nevlastní limity ve vlastním bodě:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}=\infty }$

Příklad vlastní limity v nevlastním bodě:

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }2^{x}=0}$

Příklad nevlastní limity v nevlastním bodě:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }2^{x}=\infty }$

Vlastnosti

• Mějme funkci ${\displaystyle f}$, která má v bodě ${\displaystyle a}$ limitu ${\displaystyle A}$ a funkci ${\displaystyle g}$, která má ve stejném bodě limitu ${\displaystyle B}$, pak pro libovolné číslo ${\displaystyle c}$ platí následující vztahy:
  • ${\displaystyle \lim _{x\to a}cf(x)=cA}$
  • ${\displaystyle \lim _{x\to a}[f(x)\pm g(x)]=A\pm B}$
  • ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)g(x)=AB}$
  • ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {A}{B}}}$, pokud ${\displaystyle B\neq 0}$

• Mějme funkci ${\displaystyle f}$, která má v bodě ${\displaystyle a}$ limitu ${\displaystyle A}$, tedy ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=A}$, a funkci ${\displaystyle g}$, která má v bodě ${\displaystyle A}$ limitu ${\displaystyle B}$, tedy ${\displaystyle \lim _{y\to A}g(y)=B}$. Pokud existuje takové ${\displaystyle \delta >0}$, že pro všechna ${\displaystyle x}$ splňující podmínku ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$ platí ${\displaystyle f(x)\neq A}$, pak:

${\displaystyle \lim _{x\to a}g(f(x))=B}$

• Máme-li funkce ${\displaystyle f}$ a ${\displaystyle g}$, pro něž v okolí bodu ${\displaystyle a}$ platí ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$, pak v případě, že obě funkce mají v bodě ${\displaystyle a}$ limitu, bude platit:

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)\leq \lim _{x\to a}g(x)}$

• Máme-li funkce ${\displaystyle f,g,h}$, pro něž v okolí bodu ${\displaystyle a}$ platí ${\displaystyle f(x)\leq h(x)\leq g(x)}$ a existují-li limity ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=A}$ a ${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=A}$, pak existuje také limita:

${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)=A}$

Příklad funkce bez limity

Funkce

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\mbox{ pro }}x<1\\0&{\mbox{ pro }}x=1\\{\frac {0.1}{x-1}}&{\mbox{ pro }}x>1\end{cases}}}$

nemá limitu v bodě ${\displaystyle x_{0}=1}$.

Související články

• Limita
• Limita posloupnosti
• Seznam základních limit
• L'Hospitalovo pravidlo
• Spojitá funkce
• Okolí (matematika)

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Limita funkce na Wikimedia Commons
• Encyklopedické heslo Limita v Ottově slovníku naučném ve Wikizdrojích