Lemma von Riemann-Lebesgue

Das Lemma von Riemann-Lebesgue, auch Satz von Riemann-Lebesgue, ist ein nach Bernhard Riemann und Henri Lebesgue benannter mathematischer Satz aus der Analysis. Er besagt, dass die Fourier-Transformationen von integrablen Funktionen im Unendlichen verschwinden.

Sei ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$, also ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }$ eine messbare Funktion mit

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|\mathrm {d} x<\infty }$

und ${\displaystyle {\hat {f}}}$ die Fourier-Transformierte von ${\displaystyle f}$, also

${\displaystyle {\hat {f}}\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} ,\xi \mapsto {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }\mathrm {d} x}$.

Dann verschwindet ${\displaystyle {\hat {f}}}$ im Unendlichen, das heißt ${\displaystyle |{\hat {f}}(\xi )|{\xrightarrow {\xi \to \pm \infty }}0}$ oder formaler, dass es zu jedem ${\displaystyle \varepsilon >0}$ eine reelle Zahl ${\displaystyle R>0}$ gibt, so dass ${\displaystyle |{\hat {f}}(\xi )|<\varepsilon }$ für alle ${\displaystyle |\xi |>R}$.^[1][2]

Da die Fourier-Transformationen von integrablen Funktionen stetig sind, handelt es sich bei ${\displaystyle {\hat {f}}}$ um eine stetige Funktion, die im Unendlichen verschwindet. Bezeichnet man den Vektorraum der im Unendlichen verschwindenden Funktionen mit ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$, so lässt sich das Lemma von Riemann-Lebesgue auch folgendermaßen formulieren: Die Fourier-Transformation auf ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ ist eine Abbildung von ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ nach ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$.

Der Beweis^[1] soll hier in groben Zügen vorgestellt werden. Wir nehmen zunächst vereinfachend an, dass ${\displaystyle f}$ stetig ist. Für ${\displaystyle \xi \not =0}$ liefert die Substitution ${\displaystyle \textstyle x\to x+{\frac {\pi }{\xi }}}$

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }\mathrm {d} x={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f\left(x+{\frac {\pi }{\xi }}\right)e^{-ix\xi }e^{-i\pi }\mathrm {d} x={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }-f\left(x+{\frac {\pi }{\xi }}\right)e^{-ix\xi }\mathrm {d} x}$,

und wir haben eine zweite Formel für ${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$. Bildet man nun den Mittelwert aus beiden Formeln und nimmt Beträge, zieht diese unter das Integral, was den Exponentialterm zu 1 macht, so folgt

${\displaystyle |{\hat {f}}(\xi )|\leq {\frac {1}{2}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)-f\left(x+{\frac {\pi }{\xi }}\right)\right|\mathrm {d} x}$.

Aufgrund der Stetigkeit von ${\displaystyle f}$ konvergiert ${\displaystyle f(x)-f(x+{\tfrac {\pi }{\xi }})}$ gegen ${\displaystyle 0}$ für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle |\xi |\to \infty }$. Außerdem gilt

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)-f\left(x+{\frac {\pi }{\xi }}\right)\right|\mathrm {d} x\leq 2\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|\mathrm {d} x}$.

Nach dem Satz von der majorisierten Konvergenz konvergiert ${\displaystyle |{\hat {f}}(\xi )|}$ also für ${\displaystyle |\xi |\to \infty }$ gegen 0.

Die Annahme der Stetigkeit von ${\displaystyle f}$ kann auf Grund eines Dichtheitsarguments fallen gelassen werden. In der Tat liegen die stetigen Funktionen dicht in ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$. Für jedes ${\displaystyle \varepsilon >0}$ und jede Funktion ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$ existiert also eine stetige Funktion ${\displaystyle g\in L^{1}(\mathbb {R} )}$, sodass ${\displaystyle \|f-g\|_{L^{1}}<\varepsilon }$ gilt. Aufgrund der Eigenschaften der Fourier-Transformation folgt, dass dann auch ${\displaystyle \textstyle \sup _{\xi \in \mathbb {R} }|{\hat {f}}(\xi )-{\hat {g}}(\xi )|<{\frac {\varepsilon }{\sqrt {2\pi }}}}$ gilt. Wie vorher gezeigt, verschwindet ${\displaystyle {\hat {g}}(\xi )}$ für ${\displaystyle |\xi |\to \infty }$, und da ${\displaystyle \varepsilon }$ beliebig gewählt werden kann, folgt die gleiche Aussage für ${\displaystyle f}$.

Das Lemma von Riemann-Lebesgue lässt sich auf Funktionen ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} }$ verallgemeinern:

Es sei ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} }$ eine integrable Funktion, das heißt

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }\ |f(x_{1},\ldots ,x_{n})|\,\mathrm {d} x_{1}\ldots \mathrm {d} x_{n}<\infty }$.

Ist ${\displaystyle {\hat {f}}\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ die Fourier-Transformierte

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(x_{1},\ldots ,x_{n})e^{-ix_{1}\xi _{1}\ldots -ix_{n}\xi _{n}}\mathrm {d} x_{1}\ldots \mathrm {d} x_{n}}$,

so gilt ${\displaystyle |{\hat {f}}(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})|\rightarrow 0}$ für ${\displaystyle \|(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\|\to \infty }$.^[3]

Dabei ist ${\displaystyle \|\cdot \|}$ irgendeine Norm auf dem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, zum Beispiel die euklidische Norm.

Die Menge der integrablen Funktionen, das heißt die Menge der L¹-Funktionen, bildet mit der Faltung als Multiplikation und der 1-Norm eine Banachalgebra. In der harmonischen Analyse zeigt man, dass die Fourier-Transformation ein Spezialfall der abstrakten Gelfand-Transformation wird. Das Lemma von Riemann-Lebesgue folgt dann aus der Tatsache, dass die Gelfand-Transformation in den Raum der C₀-Funktionen abbildet und der Gelfand-Raum von ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ mit ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ identifiziert werden kann. Gleichzeitig wird dadurch das Lemma von Riemann-Lebesgue auf lokalkompakte abelsche Gruppen verallgemeinert.^[4]

1. ↑ ^{a b} M. J. Lighthill: Einführung in die Theorie der Fourier-Analysis und der verallgemeinerten Funktionen, BI-Hochschultaschenbücher (1966), Band 139, ISBN 3-411-00139-9, Kapitel 4: Das Riemann-Lebesgue'sche Lemma
2. ↑ Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras I. Elementary Theory, Academic Press, New York (1983), ISBN 0-12-393301-3, Korollar 3.2.28 (iii)
3. ↑ Hitoshi Kumano-go: Pseudo-differential Operators, MIT Press, Cambridge, Massachusetts (1982), ISBN 0-262-11080-6, Kapitel 1, §4, Theorem 4.1
4. ↑ Walter Rudin: Fourier Analysis on Groups, 1962, Kapitel 1.2.3: The Fourier Transform