Función escalón de Heaviside

La función escalón de Heaviside, también llamada función escalón unitario o de causalidad a la derecha del cero, debe su nombre al matemático inglés Oliver Heaviside. Es una función discontinua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo, incluido el cero:^[1]​^[2]​^[3]​

${\displaystyle {\begin{aligned}u:\mathbb {R} &\to \{0,1\}\\x&\mapsto u(x)\end{aligned}}}$

que se define de esta forma:

${\displaystyle u(x)={\begin{cases}0&\mathrm {si} &x<0\\1&\mathrm {si} &x\geq 0\end{cases}}}$

En ocasiones esta función suele denotarse por ${\displaystyle H(x)}$.

Aplicaciones

Esta función tiene aplicaciones en ingeniería de control y procesamiento de señales, representando una señal que se enciende en un tiempo específico, y se queda encendida indefinidamente.

Definiciones alternativas

Existen varias maneras diferentes de definir la función de Heaviside, no todas ellas equivalentes. Las diferentes definiciones no equivalentes difieren solo en el valor ${\displaystyle H(0)}$, que es convencional. La mayoría de autores lo definen como ${\displaystyle H(0)=1}$, otros ${\displaystyle H(0)=0}$. Algunos que lo definen como ${\displaystyle H(0)=1/2}$, ya que maximiza la simetría de la función, y permite una representación de la misma a través de la función signo:

${\displaystyle H(x)={\begin{cases}0,&x<0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0\end{cases}}}$

${\displaystyle H(x)={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {sgn}(x)\right)}$

Puede especificarse con un subíndice el valor que se va a usar para ${\displaystyle H(0)}$, de la siguiente forma:

${\displaystyle H_{\alpha }(x)={\begin{cases}0,&x<0\\\alpha ,&x=0\\1,&x>0\end{cases}},\qquad \alpha \in \left\{0,{\frac {1}{2}},1\right\}}$

Una forma de representar esta función es a través de la integral

${\displaystyle H(x)=\lim _{\epsilon \to 0}-{1 \over 2\pi i}\int _{-\infty }^{\infty }{1 \over \tau +i\epsilon }e^{-ix\tau }{\text{d}}\tau }$

• Definición como límite de otras funciones.

${\displaystyle H(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{e^{-nx}+1}},\qquad H(x)=\lim _{t\to 0}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {x}{t}}\right)}$

${\displaystyle H(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1+\tanh(nx)}{2}}}$

Aproximaciones analíticas

Para una aproximación mediante una función continuamente diferenciable a la función escalón, se puede usar la función logística

${\displaystyle H(x)\approx {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\tanh(kx)={\frac {1}{1+\mathrm {e} ^{-2kx}}},}$

donde una ${\displaystyle k}$ más grande corresponde a una transición más afilada en ${\displaystyle x=0}$. Si tomamos ${\displaystyle H(0)=1/2}$, la igualdad se establece en el límite:

${\displaystyle H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{2}}(1+\tanh kx)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{1+\mathrm {e} ^{-2kx}}}.}$

Existen algunas otras aproximaciones analíticas suaves para la función escalón.^[4]​ Entre las posibilidades están:

${\displaystyle H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(kx)\right)}$

${\displaystyle H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} (kx)\right).}$

${\displaystyle H(x)={\begin{cases}{\frac {|x|+x}{2x}},&x\neq 0\\{\frac {1}{2}},&x=0\end{cases}}}$

Estos límites se mantienen para todo punto^[5]​ así como en el sentido de distribuciones. En general, sin embargo, la convergencia para todo punto no necesariamente implica convergencia para la distribución, y viceversa, la convergencia para la distribución no necesariamente implica convergencia para todo punto.^[6]​

en general, cualquier función de distribución acumulativa (c.d.f) de una distribución de probabilidad continua que es muestreada alrededor de cero y tiene un parámetro que controla la varianza puede servir como una aproximación en el límite conforme la varianza se aproxima a cero. Por ejemplo, los tres ejemplos anteriores son funciones de distribución acumulativa de distribuciones de probabilidad común: distribución logística, de Cauchy y normal, respectivamente.

Propiedades

• Cambio de signo del argumento.

${\displaystyle H(-x)=1-H(x)\,}$

• La derivada en el sentido de las distribuciones es la delta de Dirac.

${\displaystyle H'(x-a)=\delta (x-a)\,}$

• Transformada de Laplace.

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{H(x-a)\}(s)={\frac {e^{-as}}{s}}}$

• La función primitiva es la función rampa:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}H(t-a){\text{d}}t={\mbox{ramp}}(x-a)\,}$

• Es la integral de la función delta de Dirac.

${\displaystyle H(x-a)=\int _{-\infty }^{x}{\delta (t-a)}{\text{d}}t}$

Escalón de tiempo discreto

Se trata de la sucesión entera u : Z → {0, 1} definida por^[7]​

${\displaystyle u_{n}={\begin{cases}0&{\textrm {si}}\ n<0\\1&{\textrm {si}}\ n\geq 0\end{cases}}}$

La función escalón se emplea con frecuencia en procesamiento de señales, para describir el comportamiento de sistemas lineales e invariantes en el tiempo. La respuesta al escalón s_n se define como la salida de un sistema excitado por un escalón ${\displaystyle u_{n}}$. Puede demostrarse que la respuesta impulsiva ${\displaystyle h_{n}}$ del sistema LTI se calcula a partir de la respuesta al escalón, denotada por ${\displaystyle s_{n}}$, de la siguiente manera^[7]​

${\displaystyle h_{n}=s_{n}-s_{n-1}.}$

Véase también

• Continuidad (matemática)

Función definida a trozos

Función rectangular

Función escalonada

Función identidad

Función signo

Valor absoluto

Función rampa

Funciones de parte entera

Parte fraccionaria

Mantisa

Referencias

Bibliografía

• Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Heaviside Step Function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.