Semianillo

En álgebra, un semianillo[1]​[2]​ es una estructura algebraica más general que un anillo.

Definición

Semianillo

Dado un conjunto A y dos operaciones binarias + y ·, llamadas adición y multiplicación, la 3-tupla (A,+,·) es un semianillo si satisface las siguientes condiciones:

(A,+) es un semigrupo conmutativo; es decir:

  1. (a + b) + c = a + (b + c) para todo a, b, c en A (asociatividad)
  2. a + b = b + a para todo a, b en A (conmutatividad)

(A,·) es un semigrupo:

  1. (a · b) · c = a · (b · c) para todo a, b, c en A (asociatividad)

La multiplicación distribuye sobre la adición; es decir:

  1. a · (b + c) = a · b + a · c para todo a, b, c en A (distribución por la izquierda)
  2. (a + b) · c = a · c + b · c para todo a, b, c en A (distribución por la derecha)

Si la operación "·" es conmutativa el semianillo se llama semianillo conmutativo o abeliano.

Semianillo unitario

Dado un conjunto A y dos operaciones binarias + y ·, llamadas adición y multiplicación, la 3-tupla (A,+,·) es un semianillo si satisface las siguientes condiciones:

(A,+) es un semigrupo conmutativo; es decir:

  1. (a + b) + c = a + (b + c) para todo a, b, c en A (asociatividad)
  2. a + b = b + a para todo a, b en A (conmutatividad)

(A,·) es un monoide con 1 como elemento neutro; es decir:

  1. (a · b) · c = a · (b · c) para todo a, b, c en A (asociatividad)
  2. a · 1 = 1 · a = a para todo a en A (elemento neutro)

La multiplicación distribuye sobre la adición; es decir:

  1. a · (b + c) = a · b + a · c para todo a, b, c en A (distribución por la izquierda)
  2. (a + b) · c = a · c + b · c para todo a, b, c en A (distribución por la derecha)

Si la operación "·" es conmutativa el semianillo unitario se llama semianillo unitario conmutativo o abeliano.

Véase también

  • Anillo (matemática)
  • Anillo de conjuntos

Referencias

  1. ↑ García Rua, J.,; Martínez Sánchez, J. M. (1977). «3». En Ministerio de Educación, ed. Matemática básica elemental. p. 56. ISBN 9788436902167. 
  2. ↑ Fernandez Nvoa, Jesús (1991). «1». Análisis matemático I (4 edición). UNED. p. 15. ISBN 978-84362-1668-4. 
  • François Baccelli, Guy Cohen, Geert Jan Olsder, Jean-Pierre Quadrat, Synchronization and Linearity (online version) Archivado el 4 de noviembre de 2016 en Wayback Machine., Wiley, 1992, ISBN 0 471 93609 X
  • Golan, Jonathan S., Semirings and their applications. Updated and expanded version of The theory of semirings, with applications to mathematics and theoretical computer science (Longman Sci. Tech., Harlow, 1992, MR 1163371. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. xii+381 pp. ISBN 0-7923-5786-8 MR 1746739
  • Jean Berstel; Dominique Perrin (1985). Theory of codes. Pure and applied mathematics 117. Academic Press. ISBN 9780120934201. 
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