Semimartingala

Una semimartingala es un tipo de proceso estocástico que aparece frecuentemente en integración estocástica, más específicamente un proceso estocástico ${\displaystyle X}$ es una semimartingala si puede descomponerse como suma de una martingala local y un proceso adaptado y de variación finita.

La clase de todas las martingalas definidas sobre un espacio de probabilidad, en el que se ha definido una filtración de σ-álgebras. Además las semimartingalas son "buenos integradores" y forman la mayor clase posible de procesos estocásticos respecto a las cuales se puede definir la integral de Itō y la integral de Stratonovich.

Definición

Definición previa

Un proceso ${\displaystyle X}$ es una semimartingala total si ${\displaystyle X}$ es un proceso de tipo càdlàg, adaptado y tal que ${\displaystyle I_{X}:\mathbf {S} \to L^{0}}$ es continuo.

Recúerdese que para un proceso estocástico ${\displaystyle X}$ y un tiempo de parada ${\displaystyle t}$, la notación ${\displaystyle X^{t}}$ denota al proceso ${\displaystyle (X_{t\land T})_{t\geq 0}}$ (donde ${\displaystyle s\land t:=\min(s,t)}$, con esa notación se define el concepto general de semimartingala:

Definición

Un proceso ${\displaystyle X}$ se denomina semimartingala si, para cada ${\displaystyle t\in [0,\infty )}$ el proceso ${\displaystyle X^{t}}$ es una semimartingala total.

Una definición alternativa es la siguiente:

Un proceso estocástico definido sobre la filtración ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\operatorname {P} )}$ se denomina semimartingala si puede descomponerse en la forma:
${\displaystyle X_{t}=M_{t}+A_{t}}$ donde ${\displaystyle M}$ es una maritingala local y ${\displaystyle A}$ es un proceso adaptado de tipo càdlàg que localmente es de variación acotada.

Un proceso estocástico con valores en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ es una semimartingala si cada una de sus componentes ${\displaystyle X=(X^{1},\dots ,X^{n})}$ es una semimartignala.

Ejemplos

• El proceso de Wiener (o movimiento browniano) es una semimartingala.
• Un proceso estocástico adaptado con caminos de tipo càdlag de variación finita sobre compactos es una semimartingala.
• Toda martingala de cuadrado integrable con caminos de tipo càdlàg es una semimartingala.
• Toda martingala local de tipo càdlàg y localmente de cuadradro integrable es una semimartingala.
• Una martingala local con caminos continuos es una semimartingala.
• Un proceso estocástico adaptado de tipo càdlàg X_t y descomponible como suma ${\displaystyle X_{t}=X_{0}+M_{t}+A_{t}}$, donde A₀ = M₀ = 0, donde M es localmente de cuadrado integrable, A es de tipo càdlàg, adaptado y con caminos de variación finita sobre compactos, es una semimartingala.

Semimartingalas e integración

Sea X un proceso estocástico para el cual se define un operador integral I_X asociado a X. Para que dicho operador pueda ser entendido como una "integral" debería cumplir algunos requisitos razonables: debe ser lineal y debería satisfacer cierta versión del teorema de la convergencia acotada. Una forma débil de esta convergencia acotada es que la convergencia uniforme de procesos de una sucesión de procesos H_n a H implique solamente la convergencia en probabilidad de I_X(H_n) a I_X(H).

A partir de las consideraciones anteriores, dado un proceso X se define una aplicación lineal ${\displaystyle I_{X}:\mathbf {S} \to L^{0}(\Omega )}$ definida por:

${\displaystyle I_{X}(H)=H_{0}X_{0}+\sum _{i=1}^{n}H_{i}(X_{T_{i+1}}-X_{T_{i}})}$

donde ${\displaystyle \mathbf {S} }$ denota el espacio de todos los procesos estocásticos simples y predictibles sobre el espacio de probabilidad considerado (con la topología adecuadada sobre ${\displaystyle \mathbf {S} }$). En la ecuación anterior el integrando ${\displaystyle H\in \mathbf {S} }$ es un proceso estocástico que admitiría la representación:

${\displaystyle H_{t}=H_{0}1_{\{0\}}+\sum _{i=1}^{n}H_{i}\ 1_{(T_{i},T_{i+1}]}}$

donde:

${\displaystyle 1_{A}(\cdot )}$ es la función característica del conjunto ${\displaystyle A}$ que vale 1 si el argumento de la función pertenece a A y 0 en caso contrario.

Propiedades

Esta sección recoge algunos teoremas que aclaran el concepto de semimartingala definida sobre un espacio de probabilidad ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$.

Estabilidad

Si Q es una medida de probabilidad y es absolutamente continua respecto a P, entonces toda P-semimartingala X es una Q-semimartingala.

Esta última propiedad se sigue del hecho de que la convergencia en probabilidad respecto a P implica la convergencia respecto a Q, por ser absolutamente continua esta probabilidad respecto de la otra. Otro resultado interesante es el siguiente:

Sea ${\displaystyle (P_{k})_{k\geq 1}}$ una sucesión de medidas de probabilidad tales que X es una ${\displaystyle (P_{k})-}$semimartingala para cada k. Sea ${\displaystyle R=\sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}P_{k}}$, donde ${\displaystyle \lambda _{k}\geq 0}$, y además ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}=1}$. Entonces X es una semimartingala con respecto a R también.

Referencias

Bibliografía

• Protter, Philip (1995). «II. Semimartingales and Stochastic Integrals». Stochastic Integration and Differential Equations: A New Approach (en inglés). Springer. pp. p. 43-86.