Lämpöyhtälö on osittaisdifferentiaaliyhtälö, joka kuvaa lämmön johtumista aineessa. Yksinkertaisimmillaan yhtälö tiivistyy muotoon
,
joka on tyypillinen esimerkki parabolisesta osittaisdifferentiaaliyhtälöstä.
Lämpöyhtälön johtaminen
Tarkastellaan avointa avaruuden osajoukkoa
, ja olkoon
lämpötila,
aineen sisäenergia (J/kg) ja
lämpövuo (J/(m^2 s)). Energia tarkasteltavassa alueessa voidaan kirjoittaa
,
missä
on aineen tiheys. Toisaalta energiaa poistuu alueesta nopeudella
,
missä
on alueen yksikköulkonormaali. Gaussin divergenssilauseen avulla jälkimmäinen lauseke voidaan kirjoittaa muotoon
,
ja energian säilymisestä saadaan tällöin yhtälö
.
Koska nyt derivointi voidaan viedä integraalin sisään ja yhtälö pätee mielivaltaiselle alueelle, saadaan yhtälö
.
Toistaiseksi tarkasteluissa ei ole käytetty fysiikkaa lainkaan. Fourierin laki kertoo kuitenkin lämpövuon ja lämpötilan välillä olevan yhteyden
,
joka kertoo lämmön virtaavan siihen suuntaan, missä lämpötila laskee nopeimmin. Lisäksi aineen sisäenergian ja lämpötilan välillä on yhteys
,
missä
on aineen ominaislämpökapasiteetti (J/(kgK)). Sijoittamalla nämä aiemmin saatuun yhtälöön saadaan nyt
.
Jos Fourierin lain kerroin
(lämmönjohtumisvakio) ei riipu paikasta, saadaan
,
missä
on Laplacen operaattori.
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Lämpöyhtälö.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.