Constantes de Landau

En analyse complexe, les constantes de Landau[1] décrivent le comportement des fonctions holomorphes définies sur le disque unité.

Définition

Soit F l'ensemble des fonctions holomorphes f sur le disque unité ouvert D et telles que

f ( 0 ) = 1 {\displaystyle f'(0)=1} .

Pour toute fonction fF, on définit :

  • Lf, la borne supérieure des rayons des disques inclus dans l'image de f ;
  • Bf, la borne supérieure des rayons des disques qui sont (par f) images biholomorphes d'une partie de D.

La constante de Bloch (en) B et la constante de Landau L sont alors définies par :

B = inf { B f f F } et L = inf { L f f F } {\displaystyle \mathrm {B} =\inf {\{\mathrm {B} _{f}\mid f\in F\}}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {L} =\inf {\{\mathrm {L} _{f}\mid f\in F\}}} .

Landau s'est aussi intéressé à la constante A définie par

A = inf { B f f F inj } = inf { L f f F inj } {\displaystyle \mathrm {A} =\inf {\{\mathrm {B} _{f}\mid f\in F_{\text{inj}}\}}=\inf {\{\mathrm {L} _{f}\mid f\in F_{\text{inj}}\}}} .

Finj est l'ensemble des fonctions fF qui sont injectives, donc biholomorphes de D sur f(D).

Valeurs approchées

Les valeurs exactes de B, L et A ne sont pas connues, mais on sait que B < L < A, et plus précisément :

  • 0,433 2 3 4 + 2 × 10 4 < B Γ ( 1 3 ) Γ ( 11 12 ) 1 + 3 Γ ( 1 4 ) 0,471 9 {\displaystyle 0{,}4332\approx {{\sqrt {3}} \over 4}+2\times 10^{-4}<\mathrm {B} \leq {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)\Gamma \left({\frac {11}{12}}\right)}{{\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}\;\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}}\approx 0{,}4719} [2] ;
  • 0 , 5 < L Γ ( 1 3 ) Γ ( 5 6 ) Γ ( 1 6 ) 0,543 2 {\displaystyle 0{,}5<\mathrm {L} \leq {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)\Gamma \left({\frac {5}{6}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{6}}\right)}}\approx 0{,}5432} [3] ;
  • 0,566 < A < 0,658 {\displaystyle 0{,}566<\mathrm {A} <0{,}658} [1],[4].

Notes et références

  1. a et b (de) Edmund Landau, « Über die Blochsche Konstante und zwei verwandte Weltkonstanten », Math. Z., vol. 30, no 1,‎ , p. 608-634 (DOI 10.1007/BF01187791, lire en ligne).
  2. (en) Eric W. Weisstein, « Bloch Constant », sur MathWorld.
  3. (en) Eric W. Weisstein, « Landau Constant », sur MathWorld.
  4. (en) R. M. Robinson, « The Bloch constant A {\displaystyle {\mathfrak {A}}} for a schlicht function », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 41, no 8,‎ , p. 535-540 (lire en ligne).
  • icône décorative Portail de l'analyse