Déterminant de Cauchy

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En algèbre linéaire, le déterminant de Cauchy est un déterminant classique, qui peut être relié à des problèmes de fractions rationnelles. Son nom est un hommage au mathématicien Augustin Louis Cauchy.

Le déterminant de Cauchy est un déterminant de taille n {\displaystyle n} et de terme général 1 a i + b j {\displaystyle {\frac {1}{a_{i}+b_{j}}}} , où les complexes a 1 , … , a n {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}} et b 1 , … , b n {\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}} sont tels que pour tout i {\displaystyle i} et j {\displaystyle j} , a i + b j {\displaystyle a_{i}+b_{j}} est non nul.

D n = | 1 a 1 + b 1 1 a 1 + b 2 … 1 a 1 + b n 1 a 2 + b 1 1 a 2 + b 2 … 1 a 2 + b n ⋮ ⋮ ⋮ 1 a n + b 1 1 a n + b 2 … 1 a n + b n | {\displaystyle D_{n}={\begin{vmatrix}{\frac {1}{a_{1}+b_{1}}}&{\frac {1}{a_{1}+b_{2}}}&\dots &{\frac {1}{a_{1}+b_{n}}}\\{\frac {1}{a_{2}+b_{1}}}&{\frac {1}{a_{2}+b_{2}}}&\dots &{\frac {1}{a_{2}+b_{n}}}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\{\frac {1}{a_{n}+b_{1}}}&{\frac {1}{a_{n}+b_{2}}}&\dots &{\frac {1}{a_{n}+b_{n}}}\end{vmatrix}}}

Lien avec un problème d'interpolation

On recherche une fraction rationnelle ayant exactement n {\displaystyle n} pôles simples, qui sont les a i {\displaystyle a_{i}} , et prenant des valeurs fixées en n {\displaystyle n} points distincts des a i {\displaystyle a_{i}} (ce sont les opposés des b j {\displaystyle b_{j}} ).

Si on cherche la fraction rationnelle sous la forme

F ( X ) = ∑ i = 1 n r i X − a i {\displaystyle F(X)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {r_{i}}{X-a_{i}}}}

alors les coefficients inconnus r i {\displaystyle r_{i}} sont solutions d'un système de taille n {\displaystyle n} , dont le déterminant est un déterminant de Cauchy.

Calcul du déterminant de Cauchy

D n = ∏ i < j ( a j − a i ) ∏ i < j ( b j − b i ) ∏ i , j ( a i + b j ) = V ( a 1 , … , a n ) V ( b 1 , … , b n ) ∏ i , j ( a i + b j ) {\displaystyle D_{n}={\frac {\prod \limits _{i<j}(a_{j}-a_{i})\prod \limits _{i<j}(b_{j}-b_{i})}{\prod \limits _{i,j}(a_{i}+b_{j})}}={\frac {\mathrm {V} (a_{1},\dots ,a_{n})\mathrm {V} (b_{1},\dots ,b_{n})}{\prod \limits _{i,j}(a_{i}+b_{j})}}} en notant V ( α 1 , … , α n ) {\displaystyle \mathrm {V} (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})} le déterminant de la Matrice de Vandermonde de la famille ( α 1 , … , α n ) {\displaystyle (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})} .
Indications de démonstration[1]
  1. Multiplier toutes les colonnes par a n + b j {\displaystyle a_{n}+b_{j}} .
  2. Soustraire la dernière colonne à toutes les autres.
  3. Factoriser par les termes communs aux lignes et aux colonnes et développer par rapport à la dernière ligne.

On trouve alors la relation de récurrence

D n = 1 a n + b n ( ∏ i = 1 n − 1 ( a n − a i ) ( b n − b i ) ( a n + b i ) ( a i + b n ) ) D n − 1 {\displaystyle D_{n}={\frac {1}{a_{n}+b_{n}}}{\Bigg (}\prod \limits _{i=1}^{n-1}{\frac {(a_{n}-a_{i})(b_{n}-b_{i})}{(a_{n}+b_{i})(a_{i}+b_{n})}}{\Bigg )}D_{n-1}}

On en déduit l'expression générale de D n {\displaystyle D_{n}} .

Détails de la démonstration

Stratégie: (valable de manière générale pour le calcul de déterminants «compliqués»)

  1. Raisonner par récurrence sur la taille du déterminant.
  2. Faire des opérations élémentaires sur les lignes/colonnes pour faire apparaître une ligne/colonne composée de 1 {\displaystyle 1} .
  3. Soustraire les lignes/colonnes de manière à obtenir une ligne/colonne presque composée uniquement de 0 {\displaystyle 0} sauf pour un seul coefficient.
  4. Développer par rapport à cette dernière et obtenir une relation de récurrence sur le déterminant.

On raisonne par récurrence sur la taille du déterminant n {\displaystyle n} .

Premièrement, faisons apparaître une ligne de 1 {\displaystyle 1} en multipliant toutes les colonnes par a n + b j {\displaystyle a_{n}+b_{j}} .

Par n {\displaystyle n} -linéarité du déterminant,

D n = 1 ∏ i = 1 n ( a n + b i ) | a n + b 1 a 1 + b 1 a n + b 2 a 1 + b 2 ⋯ a n + b n a 1 + b n ⋮ ⋮ ⋮ a n + b 1 a n − 1 + b 1 a n + b 2 a n − 1 + b 2 ⋯ a n + b n a n − 1 + b n 1 1 ⋯ 1 | . {\displaystyle D_{n}={\frac {1}{\prod \limits _{i=1}^{n}(a_{n}+b_{i})}}{\begin{vmatrix}{\frac {a_{n}+b_{1}}{a_{1}+b_{1}}}&{\frac {a_{n}+b_{2}}{a_{1}+b_{2}}}&\cdots &{\frac {a_{n}+b_{n}}{a_{1}+b_{n}}}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\{\frac {a_{n}+b_{1}}{a_{n-1}+b_{1}}}&{\frac {a_{n}+b_{2}}{a_{n-1}+b_{2}}}&\cdots &{\frac {a_{n}+b_{n}}{a_{n-1}+b_{n}}}\\1&1&\cdots &1\end{vmatrix}}.}

Ensuite, pour faire apparaître des 0 {\displaystyle 0} à la fin des ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} premières colonnes, soustrayons la dernière colonne à toutes les autres.

∀ ( i , j ) ∈ { 1 , … , n − 1 } 2 , a n + b j a i + b j − a n + b n a i + b n = a n b n − a i b n − a n b j + a i b j ( a i + b j ) ( a i + b n ) = ( a n − a i ) ( b n − b j ) ( a i + b j ) ( a i + b n ) {\displaystyle \forall (i,j)\in \{1,\dots ,n-1\}^{2},\quad {\frac {a_{n}+b_{j}}{a_{i}+b_{j}}}-{\frac {a_{n}+b_{n}}{a_{i}+b_{n}}}={\frac {a_{n}b_{n}-a_{i}b_{n}-a_{n}b_{j}+a_{i}b_{j}}{(a_{i}+b_{j})(a_{i}+b_{n})}}={\frac {(a_{n}-a_{i})(b_{n}-b_{j})}{(a_{i}+b_{j})(a_{i}+b_{n})}}}

D n = 1 ∏ i = 1 n ( a n + b i ) | ( a n − a 1 ) ( b n − b 1 ) ( a 1 + b 1 ) ( a 1 + b n ) ( a n − a 1 ) ( b n − b 1 ) ( a 1 + b 2 ) ( a 1 + b n ) ⋯ ( a n − a 1 ) ( b n − b n − 1 ) ( a 1 + b n − 1 ) ( a 1 + b n ) a n + b n a 1 + b n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ( a n − a n − 1 ) ( b n − b 1 ) ( a n − 1 + b 1 ) ( a n − 1 + b n ) ( a n − a n − 1 ) ( b n − b 1 ) ( a n − 1 + b 2 ) ( a n − 1 + b n ) ⋯ ( a n − a n − 1 ) ( b n − b n − 1 ) ( a n − 1 + b n − 1 ) ( a n − 1 + b n ) a n + b n a n − 1 + b n 0 0 ⋯ 0 1 | . {\displaystyle D_{n}={\frac {1}{\prod \limits _{i=1}^{n}(a_{n}+b_{i})}}{\begin{vmatrix}{\frac {(a_{n}-a_{1})(b_{n}-b_{1})}{(a_{1}+b_{1})(a_{1}+b_{n})}}&{\frac {(a_{n}-a_{1})(b_{n}-b_{1})}{(a_{1}+b_{2})(a_{1}+b_{n})}}&\cdots &{\frac {(a_{n}-a_{1})(b_{n}-b_{n-1})}{(a_{1}+b_{n-1})(a_{1}+b_{n})}}&{\frac {a_{n}+b_{n}}{a_{1}+b_{n}}}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\{\frac {(a_{n}-a_{n-1})(b_{n}-b_{1})}{(a_{n-1}+b_{1})(a_{n-1}+b_{n})}}&{\frac {(a_{n}-a_{n-1})(b_{n}-b_{1})}{(a_{n-1}+b_{2})(a_{n-1}+b_{n})}}&\cdots &{\frac {(a_{n}-a_{n-1})(b_{n}-b_{n-1})}{(a_{n-1}+b_{n-1})(a_{n-1}+b_{n})}}&{\frac {a_{n}+b_{n}}{a_{n-1}+b_{n}}}\\0&0&\cdots &0&1\end{vmatrix}}.}

Factorisons par les termes communs aux lignes et aux colonnes.

D n = ∏ i = 1 n − 1 ( a n − a i ) ∏ i = 1 n − 1 ( b n − b i ) ∏ i = 1 n ( a n + b i ) ∏ i = 1 n − 1 ( a i + b n ) | 1 a 1 + b 1 1 a 1 + b 2 ⋯ 1 a 1 + b n − 1 ★ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 a n − 1 + b 1 1 a n − 1 + b 2 ⋯ 1 a n − 1 + b n − 1 ★ 0 0 ⋯ 0 1 | . {\displaystyle D_{n}={\frac {\prod \limits _{i=1}^{n-1}(a_{n}-a_{i})\prod \limits _{i=1}^{n-1}(b_{n}-b_{i})}{\prod \limits _{i=1}^{n}(a_{n}+b_{i})\prod \limits _{i=1}^{n-1}(a_{i}+b_{n})}}{\begin{vmatrix}{\frac {1}{a_{1}+b_{1}}}&{\frac {1}{a_{1}+b_{2}}}&\cdots &{\frac {1}{a_{1}+b_{n-1}}}&\bigstar \\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\{\frac {1}{a_{n-1}+b_{1}}}&{\frac {1}{a_{n-1}+b_{2}}}&\cdots &{\frac {1}{a_{n-1}+b_{n-1}}}&\bigstar \\0&0&\cdots &0&1\end{vmatrix}}.}

Finalement, en développant par rapport à la dernière ligne on trouve la relation de récurrence: D n = 1 a n + b n ( ∏ i = 1 n − 1 ( a n − a i ) ( b n − b i ) ( a n + b i ) ( a i + b n ) ) D n − 1 {\displaystyle D_{n}={\frac {1}{a_{n}+b_{n}}}{\Bigg (}\prod \limits _{i=1}^{n-1}{\frac {(a_{n}-a_{i})(b_{n}-b_{i})}{(a_{n}+b_{i})(a_{i}+b_{n})}}{\Bigg )}D_{n-1}}

Comme D 1 = 1 a 1 + b 1 {\displaystyle D_{1}={\frac {1}{a_{1}+b_{1}}}} , on obtient par récurrence D n = ∏ i < j ( a j − a i ) ∏ i < j ( b j − b i ) ∏ i , j ( a i + b j ) {\displaystyle D_{n}={\frac {\prod \limits _{i<j}(a_{j}-a_{i})\prod \limits _{i<j}(b_{j}-b_{i})}{\prod \limits _{i,j}(a_{i}+b_{j})}}} .

Références

  1. ↑ Pour une autre méthode, voir X. Gourdon, Les maths en tête. Algèbre et probabilités, Ellipses, (lire en ligne), p. 150 ou J. Franchini et J.-C. Jacquens, Maths, résumé de cours, exercices et travaux dirigés corrigés - MPSI et MP2I, Ellipses, (lire en ligne), p. 232.
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