Fonction de Liouville

La fonction de Liouville, notée λ et nommée ainsi en l'honneur du mathématicien français Joseph Liouville, est une fonction arithmétique de la théorie des nombres, définie par^[1]

${\displaystyle \quad \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)},}$

où Ω (n) désigne le nombre de facteurs premiers comptés avec multiplicité de l'entier n > 0 :

${\displaystyle {\text{si }}n=\prod _{i=1}^{m}p_{i}^{\gamma _{i}},{\text{ alors }}\Omega (n)=\sum _{i=1}^{m}\gamma _{i}.}$

Par exemple 12 = 2² × 3, d'où Ω (12) = 3).

Propriétés

• La fonction λ est complètement multiplicative car la fonction Ω est complètement additive. Par conséquent λ(1) = 1.
• Elle satisfait l'identité suivante, où ✻ désigne la convolution de Dirichlet, 1 la fonction constante 1 et χ_C la fonction indicatrice de l'ensemble C des carrés parfaits :${\displaystyle \lambda *{\mathbf {1} }=\chi _{C},\quad {\rm {ou~encore~:}}\quad \sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1&{\text{si }}n{\text{ est un carré parfait,}}\\0&{\text{sinon.}}\end{cases}}}$En effet, ces deux fonctions de n sont multiplicatives et coïncident clairement sur les puissances de nombres premiers.
• La fonction de Liouville est l'inverse, pour ✻, de la valeur absolue de la fonction de Möbius μ.
  Cette propriété se déduit de la précédente en remarquant que χ_C ✻ |μ| = 1.
• La série de Dirichlet de λ est reliée à la fonction zêta de Riemann par la formule :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}.}$

• La série de Lambert de λ est :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right)}$

où ${\displaystyle \vartheta _{3}(q)}$ est une fonction thêta de Jacobi.

Conjectures

Conjecture de Pólya

On note ${\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)}$. Pólya avait conjecturé en 1919^[2] que ${\displaystyle \forall n>1,\;L(n)\leqslant 0}$,ce qui fut réfuté en 1958 par Colin Brian Haselgrove^[3]. Minoru Tanaka trouva en 1980 le plus petit contre-exemple n^[4],[2] : L (906 150 257) = 1. On a même L(n) > 0,061867 √n pour une infinité d'entiers n^[4]. On ignore si le nombre de changements de signes de L est fini^[2], et pour cause : l'hypothèse de Riemann et la simplicité de tous les zéros de la fonction zêta de Riemann en résulteraient^[4].

Autre conjecture (parfois attribuée à tort à Pál Turán) : si l'on définit ${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}}}$, alors il semblait plausible que M(n) ≥ 0 pour n suffisamment grand, ce qui a été aussi réfuté en 1958 par Haselgrove^[3],[4]. Cette propriété, si elle avait été vraie, aurait entraîné, comme l'avait montré Pál Turán, la véracité de l'hypothèse de Riemann.

Conjecture de Chowla

Une conjecture de Sarvadaman Chowla énonce que, pour ${\displaystyle k}$ nombres entiers strictement positifs ${\displaystyle b_{i}}$ tous distincts et ${\displaystyle k}$ nombres entiers strictement positifs ${\displaystyle a_{i}}$ avec ${\displaystyle a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\neq 0}$ pour ${\displaystyle 1\leq i<j\leq k}$, on a :

${\displaystyle \sum _{1\leq n\leq x}\lambda (a_{1}n+b_{1})\cdot \cdot \cdot \lambda (a_{k}n+b_{k})=o(x)}$ quand ${\displaystyle x\to \infty }$,

où ${\displaystyle o}$ désigne le symbole de Landau.

La conjecture est vraie pour ${\displaystyle k=1}$ puisque équivalente au théorème des nombres premiers ; elle est ouverte pour ${\displaystyle k\geq 2}$.

En 2015, Kaisa Matomäki, Maksym Radziwill et Terence Tao ont réalisé des progrès, en ce qui concerne une version moyenne de la conjecture^[5]. En 2016, Terence Tao a démontré une version logarithmique de la conjecture dans le cas ${\displaystyle k=2}$^[6]. Une conjecture similaire se formule de la même façon, en remplaçant la fonction de Liouville par la fonction de Möbius.

Notes et références

• Portail de l'analyse
• Arithmétique et théorie des nombres