Nombre de Nusselt

Le nombre de Nusselt N u {\displaystyle {N\!u}} est un nombre adimensionnel utilisé pour caractériser le type de transfert thermique entre un fluide et une paroi. Il met en rapport le transfert par convection par rapport au transfert par conduction. Il est d'autant plus élevé que la convection prédomine sur la conduction[1].

Déterminer le nombre de Nusselt permet de calculer le coefficient de convection thermique à l'aide d'une corrélation, généralement obtenue expérimentalement, qui le lie

  • au nombre de Reynolds et au nombre de Prandtl en convection forcée ;
  • au nombre de Rayleigh en convection naturelle.

Définitions

Nombre de Nusselt local

Le nombre de Nusselt local est défini de la manière suivante :

N u = h L c λ {\displaystyle {N\!u}={\frac {h\,L_{c}}{\lambda }}} ,

avec :

  • h {\displaystyle h}  : coefficient de transfert thermique ou coefficient de convection (W·m-2·K-1) en un point particulier de la surface ;
  • L c {\displaystyle L_{c}}  : longueur caractéristique (m) ; elle est la même que celle utilisée pour le nombre de Reynolds ;
  • λ {\displaystyle {\lambda }}  : conductivité thermique du fluide (W·m-1·K-1).

La longueur caractéristique L c {\displaystyle L_{c}} dépend de la géométrie de la surface d'échange. Par exemple :

  • dans le cas d'une plaque plane, on prendra l'abscisse x {\displaystyle x} à compter du bord d'attaque de la plaque,
  • dans le cas d'un écoulement dans une conduite, on prendra le diamètre intérieur D {\displaystyle D} de la canalisation, ou le diamètre hydraulique si la conduite n'a pas une section circulaire.

Le nombre de Nusselt local peut également s'écrire sous la forme d'un gradient de température adimensionné à la paroi.

En posant y + = y L c {\displaystyle y^{+}={\frac {y}{L_{c}}}} et T + = T − T s T ∞ − T s {\displaystyle T^{+}={\frac {T-T_{s}}{T_{\infty }-T_{s}}}} , on obtient à partir de l'équation de définition du coefficient de transfert :

N u = ∂ T + ∂ y + | p a r o i {\displaystyle {N\!u}={\frac {\partial T^{+}}{\partial y^{+}}}{\Bigg |}_{\mathrm {paroi} }} ,

avec T {\displaystyle T} la température du fluide en une position donnée, T s {\displaystyle T_{s}} la température de surface de la paroi et T ∞ {\displaystyle T_{\infty }} la température du fluide à grande distance de la paroi.

Démonstration

Dans le cas d'un fluide en mouvement sur une plaque :

φ = h ( T s − T ∞ ) = − λ ∂ T ∂ y | y = 0 ⇔ h λ = − 1 T s − T ∞ ∂ T ∂ y | y = 0 {\displaystyle \varphi =h(T_{s}-T_{\infty })=-\lambda {\frac {\partial T}{\partial y}}{\Bigg |}_{y=0}\Leftrightarrow {\frac {h}{\lambda }}=-{\frac {1}{T_{s}-T_{\infty }}}{\frac {\partial T}{\partial y}}{\Bigg |}_{y=0}} .

On introduit les grandeur adimensionnelles pour une position à une distance x {\displaystyle x} du bord d'attaque (grandeur caractéristique locale) :

T + = T − T s T ∞ − T s {\displaystyle T^{+}={\frac {T-T_{s}}{T_{\infty }-T_{s}}}} et y + = y x {\displaystyle y^{+}={\frac {y}{x}}} .

On obtient l'expression du nombre de Nusselt :

∂ T + ∂ y + | y + = 0 = x T s − T ∞ ∂ T ∂ y | y = 0 = x   h λ = N u x {\displaystyle {\frac {\partial T^{+}}{\partial y^{+}}}{\Bigg |}_{y^{+}=0}={\frac {x}{T_{s}-T_{\infty }}}{\frac {\partial T}{\partial y}}{\Bigg |}_{y=0}={\frac {x\ h}{\lambda }}={N\!u}_{x}} .

Nombre de Nusselt global

Le nombre de Nusselt global permet de calculer le coefficient de convection moyen sur la totalité de la surface. Il s'exprime :

N u ¯ = h ¯ L c λ {\displaystyle {\overline {N\!u}}={\frac {{\overline {h}}\,L_{c}}{\lambda }}} ,

où h ¯ = 1 S ∬ S h   d S {\displaystyle {\overline {h}}={\frac {1}{S}}\iint _{S}h\ \mathrm {d} S} de sorte que le flux thermique soit Φ = h ¯ S ( T s − T ∞ ) {\displaystyle \Phi ={\overline {h}}\,S\,(T_{s}-T_{\infty })} .

Corrélations

En convection forcée

L'application du théorème de Buckingham[2] à un problème de convection forcée, pour un écoulement établi en vitesse et en température avec un fluide dont les propriétés thermomécaniques sont constantes, fait apparaître trois groupements ou nombres sans dimension en relation sous la forme suivante :

N u = C   R e α   P r β {\displaystyle {N\!u}=C\ {Re}^{\alpha }\ {Pr}^{\beta }} ,

avec :

  • R e = V L c ν = ρ V L c μ {\displaystyle {Re}={\frac {V\,L_{c}}{\nu }}={\frac {\rho \,V\,L_{c}}{\mu }}} le nombre de Reynolds,
  • P r = ν α = μ c p λ {\displaystyle {Pr}\,=\,{\frac {\nu }{\alpha }}\,=\,{\frac {\mu \,c_{p}}{\lambda }}} le nombre de Prandtl qui ne dépend que des propriétés du fluide,

où

  • V {\displaystyle V} est un ordre de grandeur de la vitesse du fluide (m s−1),
  • ρ {\displaystyle \rho } est la masse volumique du fluide (kg m−3),
  • μ {\displaystyle \mu } est la viscosité dynamique du fluide (kg m−1 s−1 ou Pa s),
  • ν = μ ρ {\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}} est la viscosité cinématique (m2 s−1),
  • c p {\displaystyle c_{p}} est la capacité thermique massique à pression constante (en J kg−1 K−1),
  • α = λ ρ c p {\displaystyle \alpha ={\tfrac {\lambda }{\rho \,c_{p}}}} est la diffusivité thermique (m2 s−1).

Cette somme représente une fonction f {\displaystyle f} , nommée corrélation car elle ne peut être, le plus souvent, précisée que par l'expérience. Dans ce cas, la forme prise par la corrélation peut être différente de l'expression simple proposée plus haut. De façon générale toutefois, la littérature scientifique fournit des fonctions selon les différentes conditions étudiées :

N u L c = f ( R e L c , P r ) {\displaystyle {N\!u}_{L_{c}}=f({Re}_{L_{c}},{Pr})} et/ou N u ¯ L c = g ( R e L c , P r ) {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{L_{c}}=g\left({Re}_{L_{c}},{Pr}\right)} .

L'objectif est, en général, de déterminer le nombre de Nusselt afin d'en déduire le coefficient de transfert thermique local h {\displaystyle h} ou global h ¯ {\displaystyle {\overline {h}}} par convection.

Les corrélations sont très nombreuses et il est difficile d'en dresser une liste exhaustive ; en voici néanmoins quelques exemples.

Géométrie Corrélation Conditions
Écoulement parallèle à une surface plane isotherme

x {\displaystyle x} est l'abscisse en prenant le bord d'attaque comme origine

N u x = 0 , 332 R e x 1 / 2 P r 1 / 3 {\displaystyle {N\!u}_{x}=0,332\,{Re}_{x}^{1/2}\,{Pr}^{1/3}} [3] (local)

N u ¯ x = 0 , 664 R e x 1 / 2 P r 1 / 3 {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{x}=0,664\,{Re}_{x}^{1/2}\,{Pr}^{1/3}} [3]

(moyen entre 0 et x {\displaystyle x} )

Écoulement laminaire R e x < 5.10 5 {\displaystyle {Re}_{x}<5.10^{5}} et P r > 0 , 7 {\displaystyle {Pr}>0,7}
N u x = 0 , 0296 R e x 4 / 5 P r 1 / 3 {\displaystyle {N\!u}_{x}=0,0296\,{Re}_{x}^{4/5}\,{Pr}^{1/3}} [4] Écoulement turbulent R e x > 5.10 5 {\displaystyle {Re}_{x}>5.10^{5}} et 0 , 6 < P r < 60 {\displaystyle 0,6<{Pr}<60}
Écoulement perpendiculaire à un cylindre isotherme Hilpert[5] :
N u ¯ D = C R e D n P r 1 / 3 {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{D}=C\,{Re}_{D}^{n}{Pr}^{1/3}}
n = 0 , 330 {\displaystyle n=0,330} et C = 0 , 989 {\displaystyle C=0,989} 0 , 4 ⩽ R e D ⩽ 4 {\displaystyle 0,4\leqslant {Re}_{D}\leqslant 4}
n = 0 , 385 {\displaystyle n=0,385} et C = 0 , 911 {\displaystyle C=0,911} 4 ⩽ R e D ⩽ 40 {\displaystyle 4\leqslant {Re}_{D}\leqslant 40}
n = 0 , 466 {\displaystyle n=0,466} et C = 0 , 683 {\displaystyle C=0,683} 40 ⩽ R e D ⩽ 4 000 {\displaystyle 40\leqslant {Re}_{D}\leqslant 4\,000}
n = 0 , 618 {\displaystyle n=0,618} et C = 0 , 193 {\displaystyle C=0,193} 4 000 ⩽ R e D ⩽ 40 000 {\displaystyle 4\,000\leqslant {Re}_{D}\leqslant 40\,000}
n = 0 , 805 {\displaystyle n=0,805} et C = 0 , 027 {\displaystyle C=0,027} 40 000 ⩽ R e D ⩽ 400 000 {\displaystyle 40\,000\leqslant {Re}_{D}\leqslant 400\,000}
Écoulement dans un tube de paroi isotherme N u D = 3 , 66 {\displaystyle {N\!u}_{D}=3{,}66} [6],[7] Région thermique pleinement développée :

x D > 0 , 05 R e D P r {\displaystyle {\frac {x}{D}}>0{,}05\,{Re}_{D}\,{Pr}} [8].

Écoulement dans un tube à densité de flux thermique pariétal constant N u D = 4 , 36 {\displaystyle {N\!u}_{D}=4{,}36} [6],[7]

En convection naturelle

Pour l'étude de la convection naturelle, le nombre de Reynolds n'a pas de sens puisque le fluide est au repos à distance de la paroi. Le nombre de Grashof est utilisé à sa place :

G r L c = g β ( T s − T ∞ ) L c 3 ν 2 = g β ( T s − T ∞ ) L c 3 ρ 2 μ 2 {\displaystyle {Gr}_{L_{c}}={\frac {g\,\beta \,(T_{s}-T_{\infty })\,L_{c}^{3}}{\nu ^{2}}}={\frac {g\,\beta \,(T_{s}-T_{\infty })\,{L_{\mathrm {c} }}^{3}\,{\rho }^{2}}{\mu ^{2}}}} ,

où :

  • g {\displaystyle g} est l'accélération de la pesanteur (m s−2) ;
  • β {\displaystyle \beta } est le coefficient de dilatation (K−1) ;
  • Δ T = T s − T ∞ {\displaystyle \Delta T=T_{s}-T_{\infty }} est la différence de température entre la paroi et le fluide au repos à distance de la paroi (K).

Le nombre de Rayleigh lui est associé par : R a L c = P r G r L c {\displaystyle {Ra}_{L_{c}}={Pr}\,{Gr}_{L_{c}}} .

Dans les cas les plus simples la corrélation prend la forme N u ¯ L c = C R a L c n {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{L_{c}}=C\,{Ra}_{L_{c}}^{n}} . mais de façon plus générale on pourra rencontrer des fonctions plus sophistiquées :

N u L c = f ( G r L c , P r ) {\displaystyle {N\!u}_{L_{c}}=f\left({Gr}_{L_{c}},{Pr}\right)} et/ou N u ¯ L c = g ( G r L c , P r ) {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{L_{c}}=g\left({Gr}_{L_{c}},{Pr}\right)} .

Quelques exemples sont proposés dans le tableau qui suit. Un recueil plus important est fourni en boite déroulante plus loin.

Géométrie Corrélation Conditions
Surface plane verticale isotherme

x {\displaystyle x} est l'abscisse en prenant le bord d'attaque comme origine

(en bas pour une paroi chaude, en haut pour une paroi froide)

N u ¯ x = C R a x n {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{x}=C\,{Ra}_{x}^{n}} n = 1 / 4 {\displaystyle n=1/4} et C = 0 , 59 {\displaystyle C=0,59} [9],[10] Écoulement laminaire

10 4 ⩽ R a ⩽ 10 9 {\displaystyle 10^{4}\leqslant {Ra}\leqslant 10^{9}}

n = 1 / 3 {\displaystyle n=1/3} et C = 0 , 10 {\displaystyle C=0,10} [9],[10] Écoulement turbulent

10 9 ⩽ R a ⩽ 10 13 {\displaystyle 10^{9}\leqslant {Ra}\leqslant 10^{13}}

Résultats obtenus analytiquement[11],[12]
N u x = 0 , 508 R a x 1 / 4 ( P r 0 , 952 + P r ) 1 / 4 {\displaystyle {N\!u}_{x}=0,508\,{Ra}_{x}^{1/4}\left({\frac {Pr}{0,952+{Pr}}}\right)^{1/4}}
N u ¯ x = 4 3 N u x = 0 , 667 R a x 1 / 4 ( P r 0 , 952 + P r ) 1 / 4 {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{x}={\frac {4}{3}}{N\!u}_{x}=0,667\,{Ra}_{x}^{1/4}\left({\frac {Pr}{0,952+{Pr}}}\right)^{1/4}}
Écoulement laminaire

R a ⩽ 10 9 {\displaystyle {Ra}\leqslant 10^{9}}

Cylindre horizontal Morgan[13],[14] :
N u ¯ D = C R a D n {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{D}=C\,{Ra}_{D}^{n}}
n = 0 , 058 {\displaystyle n=0,058} et C = 0 , 675 {\displaystyle C=0,675} 10 − 10 ⩽ R a D ⩽ 10 − 2 {\displaystyle 10^{-10}\leqslant {Ra}_{D}\leqslant 10^{-2}}
n = 0 , 148 {\displaystyle n=0,148} et C = 1 , 02 {\displaystyle C=1,02} 10 − 2 ⩽ R a D ⩽ 10 2 {\displaystyle 10^{-2}\leqslant {Ra}_{D}\leqslant 10^{2}}
n = 0 , 188 {\displaystyle n=0,188} et C = 0 , 850 {\displaystyle C=0,850} 10 2 ⩽ R a D ⩽ 10 4 {\displaystyle 10^{2}\leqslant {Ra}_{D}\leqslant 10^{4}}
n = 0 , 250 {\displaystyle n=0,250} et C = 0 , 480 {\displaystyle C=0,480} 10 4 ⩽ R a D ⩽ 10 7 {\displaystyle 10^{4}\leqslant {Ra}_{D}\leqslant 10^{7}}
n = 0 , 333 {\displaystyle n=0,333} et C = 0 , 125 {\displaystyle C=0,125} 10 7 ⩽ R a D ⩽ 10 12 {\displaystyle 10^{7}\leqslant {Ra}_{D}\leqslant 10^{12}}
Plus de corrélations en convection naturelle
Corrélation Conditions
Surface plane verticale isotherme
T s {\displaystyle T_{s}}  : température de la paroi isotherme.

L {\displaystyle L}  : hauteur de la paroi.

x {\displaystyle x}  : abscisse en prenant le bord d'attaque comme origine (en bas pour une paroi chaude, en haut pour une paroi froide).

Les propriétés thermophysiques du fluide sont évaluées à une température T f = T s + T ∞ 2 {\displaystyle T_{f}={\frac {T_{s}+T_{\infty }}{2}}} .

N u x = h ( x ) x λ {\displaystyle {N\!u}_{x}={\frac {h(x)\,x}{\lambda }}}  : nombre de Nusselt local à l'abscisse x {\displaystyle x} .

N u ¯ x = h ¯ x λ {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{x}={\frac {{\overline {h}}\,x}{\lambda }}}  : nombre de Nusselt moyen entre le bord d'attaque et l'abscisse x {\displaystyle x} .

N u ¯ L = ( N u ¯ x ) x = L {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{L}=\left({\overline {N\!u}}_{x}\right)_{x=L}}  : nombre de Nusselt moyen sur la hauteur de la paroi.

N u ¯ x = C R a x n {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{x}=C\,{Ra}_{x}^{n}} n = 1 / 4 {\displaystyle n=1/4} et C = 0 , 59 {\displaystyle C=0,59} [9],[10] Écoulement laminaire

10 4 ⩽ R a ⩽ 10 9 {\displaystyle 10^{4}\leqslant {Ra}\leqslant 10^{9}}

n = 1 / 3 {\displaystyle n=1/3} et C = 0 , 10 {\displaystyle C=0,10} [9],[10] Écoulement turbulent

10 9 ⩽ R a ⩽ 10 13 {\displaystyle 10^{9}\leqslant {Ra}\leqslant 10^{13}}

Résultats obtenus analytiquement[11],[12]
N u x = 0 , 508 R a x 1 / 4 ( P r 0 , 952 + P r ) 1 / 4 {\displaystyle {N\!u}_{x}=0,508\,{Ra}_{x}^{1/4}\left({\frac {Pr}{0,952+{Pr}}}\right)^{1/4}}
N u ¯ x = 4 3 N u x = 0 , 667 R a x 1 / 4 ( P r 0 , 952 + P r ) 1 / 4 {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{x}={\frac {4}{3}}{N\!u}_{x}=0,667\,{Ra}_{x}^{1/4}\left({\frac {Pr}{0,952+{Pr}}}\right)^{1/4}}
Écoulement laminaire

R a ⩽ 10 9 {\displaystyle {Ra}\leqslant 10^{9}}

Churchill et Chu[9],[15],[16],[17]
N u ¯ x = ( 0 , 825 + 0 , 387 R a x 1 / 6 ( 1 + ( 0 , 492 / P r ) 9 / 16 ) 8 / 27 ) 2 {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{x}=\left(0,825+{\frac {0,387{Ra}_{x}^{1/6}}{\left(1+\left(0,492/{Pr}\right)^{9/16}\right)^{8/27}}}\right)^{2}}

N u x {\displaystyle {N\!u}_{x}} est pratiquement uniforme en régime turbulent[17].

Pour tous types d'écoulements

0 , 1 ⩽ R a ⩽ 10 12 {\displaystyle 0,1\leqslant {Ra}\leqslant 10^{12}}

Churchill et Chu[9],[16],[17]
N u ¯ x = 0 , 68 + 0 , 670 R a x 1 / 4 ( 1 + ( 0 , 492 / P r ) 9 / 16 ) 4 / 9 {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{x}=0,68+{\frac {0,670{Ra}_{x}^{1/4}}{\left(1+\left(0,492/{Pr}\right)^{9/16}\right)^{4/9}}}}
N u x = 0 , 68 + 3 4 0 , 670 R a x 1 / 4 ( 1 + ( 0 , 492 / P r ) 9 / 16 ) 4 / 9 {\displaystyle {N\!u}_{x}=0,68+{\frac {3}{4}}{\frac {0,670{Ra}_{x}^{1/4}}{\left(1+\left(0,492/{Pr}\right)^{9/16}\right)^{4/9}}}}
Écoulement laminaire

R a ⩽ 10 9 {\displaystyle {Ra}\leqslant 10^{9}}

Surface plane verticale à flux thermique constant
φ {\displaystyle \varphi }  : densité de flux thermique en n'importe quel point de la surface.

G r x ∗ = G r x N u x = g β φ x 4 ν α λ {\displaystyle {Gr}_{x}^{*}={Gr}_{x}\,{N\!u}_{x}={\frac {g\,\beta \,\varphi \,x^{4}}{\nu \,\alpha \,\lambda }}}  : nombre de Grashof modifié.

Sparrow et Gregg, Vliet et Liu, Vliet[16]
N u x = 0 , 60 ( G r x ∗ P r ) 1 / 5 {\displaystyle {N\!u}_{x}=0,60\left({Gr}_{x}^{*}\,{Pr}\right)^{1/5}}
N u ¯ x = 1 , 25 N u x {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{x}=1,25\,{N\!u}_{x}}
Écoulement laminaire

10 5 ⩽ G r x ∗ P r ⩽ 10 11 {\displaystyle 10^{5}\leqslant {Gr}_{x}^{*}\,{Pr}\leqslant 10^{11}}

Sparrow et Gregg, Vliet et Liu, Vliet[16]
N u x = 0 , 568 ( G r x ∗ P r ) 0 , 22 {\displaystyle {N\!u}_{x}=0,568\left({Gr}_{x}^{*}\,{Pr}\right)^{0,22}}
N u ¯ x = 1 , 136 N u x {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{x}=1,136\,{N\!u}_{x}}
Écoulement laminaire

10 13 ⩽ G r x ∗ P r ⩽ 10 16 {\displaystyle 10^{13}\leqslant {Gr}_{x}^{*}\,{Pr}\leqslant 10^{16}}

Churchill et Chu[9],[15],[16],[17]
N u ¯ x = ( 0 , 825 + 0 , 387 R a x 1 / 6 ( 1 + ( 0 , 492 / P r ) 9 / 16 ) 8 / 27 ) 2 {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{x}=\left(0,825+{\frac {0,387{Ra}_{x}^{1/6}}{\left(1+\left(0,492/{Pr}\right)^{9/16}\right)^{8/27}}}\right)^{2}}

Bonne approximation localement[17]

N u x = 0 , 17 + 3 4 N u ¯ x {\displaystyle {N\!u}_{x}=0,17+{\frac {3}{4}}{\overline {N\!u}}_{x}} .
 Pour tout type d'écoulement

0 , 1 ⩽ R a ⩽ 10 12 {\displaystyle 0,1\leqslant {Ra}\leqslant 10^{12}}

Surface plane inclinée à température constante : surface chaude vers le bas ou surface froide vers le haut
L'inclinaison de la surface d'échange est caractérisée par l'angle θ {\displaystyle \theta } pris entre la verticale et la surface ; il est positif si la surface chaude est orienté vers le bas et négatif dans les cas contraires.

En régime laminaire et dans les cas d'une surface chaude orientée vers le bas ou d'une surface froide orientée vers le haut, les relations précédentes, utilisables dans le cas d'une surface plane verticale, sont applicables à condition de remplacer g {\displaystyle g} par g cos ⁡ θ {\displaystyle g\,\cos \theta } .

La corrélation de Churchill et Chu reste valable[18] dans certaines conditions :
N u ¯ x = 0 , 68 + 0 , 670 R a x 1 / 4 ( 1 + ( 0 , 492 / P r ) 9 / 16 ) 4 / 9 {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{x}=0,68+{\frac {0,670{Ra}_{x}^{1/4}}{\left(1+\left(0,492/{Pr}\right)^{9/16}\right)^{4/9}}}} .
 g {\displaystyle g} remplacé par g cos ⁡ θ {\displaystyle g\,\cos \theta } pour le calcul de R a {\displaystyle {Ra}} .

θ < 45 ∘ {\displaystyle \theta <45^{\circ }} pour 10 5 ⩽ R a ⩽ 10 11 {\displaystyle 10^{5}\leqslant {Ra}\leqslant 10^{11}}

[18]

Pour les faibles inclinaisons[18] :
N u ¯ L = 0 , 58 R a L 1 / 5 {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{L}=0,58\,{Ra}_{L}^{1/5}} .
 R a {\displaystyle \mathrm {Ra} } calculé à partir de g {\displaystyle g} et non g cos ⁡ θ {\displaystyle g\,\cos \theta } .

87 ∘ ⩽ θ ⩽ 90 ∘ {\displaystyle 87^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 90^{\circ }} pour 10 6 ⩽ R a ⩽ 10 9 {\displaystyle 10^{6}\leqslant {Ra}\leqslant 10^{9}}

89 ∘ ⩽ θ ⩽ 90 ∘ {\displaystyle 89^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 90^{\circ }} pour 10 9 ⩽ R a ⩽ 10 11 {\displaystyle 10^{9}\leqslant {Ra}\leqslant 10^{11}}

Surface plane inclinée à température constante : surface chaude vers le haut ou surface froide vers le bas
La couche limite est plus instable dans ces conditions, il est plus fréquent d'avoir recours à des corrélations expérimentales.
La corrélation de Churchill et Chu reste valable[18] dans certaines conditions :
N u ¯ x = 0 , 68 + 0 , 670 R a x 1 / 4 ( 1 + ( 0 , 492 / P r ) 9 / 16 ) 4 / 9 {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{x}=0,68+{\frac {0,670{Ra}_{x}^{1/4}}{\left(1+\left(0,492/{Pr}\right)^{9/16}\right)^{4/9}}}} .
 g {\displaystyle g} remplacé par g cos ⁡ θ {\displaystyle g\,\cos \theta } pour le calcul de R a {\displaystyle {Ra}} .

θ < 45 ∘ {\displaystyle \theta <45^{\circ }} pour 10 5 ⩽ R a ⩽ 10 9 {\displaystyle 10^{5}\leqslant {Ra}\leqslant 10^{9}}

Raithby et Hollands[18] :
N u ¯ L = 0 , 14 R a 1 / 3 ( 1 + 0 , 0107 P r 1 + 0 , 01 P r ) {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{L}=0,14\,{Ra}^{1/3}\left({\frac {1+0,0107\,{Pr}}{1+0,01\,{Pr}}}\right)} .
 60 ∘ ⩽ θ ⩽ 90 ∘ {\displaystyle 60^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 90^{\circ }} 10 7 ⩽ R a ⩽ 2.10 11 {\displaystyle 10^{7}\leqslant {Ra}\leqslant 2.10^{11}} et 0 , 024 ⩽ P r ⩽ 2000 {\displaystyle 0,024\leqslant {Pr}\leqslant 2000} Pour les gaz si R a {\displaystyle {Ra}} est grand, Clausing et Berton :

T f = T s − 0 , 83 ( T s − T ∞ ) {\displaystyle T_{f}=T_{s}-0,83(T_{s}-T_{\infty })} si 1 ⩽ T s / T ∞ ⩽ 3 {\displaystyle 1\leqslant T_{s}/T_{\infty }\leqslant 3}

Surface plane inclinée à densité de flux constante : surface chaude vers le bas ou surface froide vers le haut
N u ¯ L = 0 , 56 R a L 1 / 4 {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{L}=0,56\,{Ra}_{L}^{1/4}} [19] θ < 88 ∘ {\displaystyle \theta <88^{\circ }} et 10 5 < R a L < 10 11 {\displaystyle 10^{5}<{Ra}_{L}<10^{11}}
Pour les faibles inclinaisons[19] :
N u ¯ L = 0 , 58 R a L 1 / 5 {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{L}=0,58\,{Ra}_{L}^{1/5}} .
 R a {\displaystyle \mathrm {Ra} } calculé à partir de g {\displaystyle g} et non g cos ⁡ θ {\displaystyle g\,\cos \theta } .

88 ∘ ⩽ θ ⩽ 90 ∘ {\displaystyle 88^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 90^{\circ }} et 10 6 < R a < 10 11 {\displaystyle 10^{6}<{Ra}<10^{11}}

Surface plane horizontale isotherme : surface chaude vers le haut ou surface froide vers le bas
Certaines corrélation préconisent l'utilisation de L ∗ = S P {\displaystyle L^{*}={\frac {S}{P}}} comme: longueur caractéristique, rapport de la surface sur le périmètre[19],[20]. D'autre simplement la longueur L {\displaystyle L} .

Les propriétés thermophysiques du fluide sont évaluées à une température T f = T s + T ∞ 2 {\displaystyle T_{f}={\frac {T_{s}+T_{\infty }}{2}}} si la température de la surface d'échange peut être considérée constante.

N u ¯ L ∗ = C R a L ∗ n {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{L^{*}}=C\,{Ra}_{L^{*}}^{n}} n = 1 / 4 {\displaystyle n=1/4} et C = 0 , 27 {\displaystyle C=0,27} [21],[20],[10] Ecoulement laminaire

3.10 5 ⩽ R a L ∗ ⩽ 3.10 10 {\displaystyle 3.10^{5}\leqslant {Ra}_{L^{*}}\leqslant 3.10^{10}} [21]

10 5 ⩽ R a L ∗ ⩽ 10 10 {\displaystyle 10^{5}\leqslant {Ra}_{L^{*}}\leqslant 10^{10}} [20],[10]

n = 1 / 5 {\displaystyle n=1/5} et C = 0 , 52 {\displaystyle C=0,52} [22] 10 4 ⩽ R a L ∗ ⩽ 10 9 {\displaystyle 10^{4}\leqslant {Ra}_{L^{*}}\leqslant 10^{9}} et P r > 0 , 7 {\displaystyle {Pr}>0,7}
Surface plane horizontale isotherme : surface chaude vers le haut ou surface froide vers le bas
N u ¯ L ∗ = C R a L ∗ n {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{L^{*}}=C\,{Ra}_{L^{*}}^{n}} n = 1 / 4 {\displaystyle n=1/4} et C = 0 , 54 {\displaystyle C=0,54} [21],[20],[22] Ecoulement laminaire

10 5 ⩽ R a L ∗ ⩽ 2.10 7 {\displaystyle 10^{5}\leqslant {Ra}_{L^{*}}\leqslant 2.10^{7}} [21]

10 4 ⩽ R a L ∗ ⩽ 10 7 {\displaystyle 10^{4}\leqslant {Ra}_{L^{*}}\leqslant 10^{7}} [20],[22]

n = 1 / 3 {\displaystyle n=1/3} et C = 0 , 14 {\displaystyle C=0,14} [21]


n = 1 / 3 {\displaystyle n=1/3} et C = 0 , 15 {\displaystyle C=0,15} [20],[22],[10]

Ecoulement turbulent

2.10 7 ⩽ R a L ∗ ⩽ 3.10 10 {\displaystyle 2.10^{7}\leqslant {Ra}_{L^{*}}\leqslant 3.10^{10}} [21]

10 7 ⩽ R a L ∗ ⩽ 10 9 {\displaystyle 10^{7}\leqslant {Ra}_{L^{*}}\leqslant 10^{9}} [20],[22]

Raithby et Hollands[23] :
N u ¯ L = 0 , 14 R a L 1 / 3 ( 1 + 0 , 0107 P r 1 + 0 , 01 P r ) {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{L}=0,14\,{Ra}_{L}^{1/3}\left({\frac {1+0,0107\,{Pr}}{1+0,01\,{Pr}}}\right)} .
 10 7 ⩽ R a L ⩽ 2.10 11 {\displaystyle 10^{7}\leqslant {Ra}_{L}\leqslant 2.10^{11}} et 0 , 024 ⩽ P r ⩽ 2000 {\displaystyle 0,024\leqslant {Pr}\leqslant 2000} [23]Pour les gaz si R a L {\displaystyle {Ra}_{L}} est grand, Clausing et Berton[23] :

T f = T s − 0 , 83 ( T s − T ∞ ) {\displaystyle T_{f}=T_{s}-0,83(T_{s}-T_{\infty })} si 1 ⩽ T s / T ∞ ⩽ 3 {\displaystyle 1\leqslant T_{s}/T_{\infty }\leqslant 3}

Raithby et Hollands[23] :
N u ¯ L ∗ = 0 , 560 R a L ∗ 1 / 4 ( 1 + ( 0 , 492 / P r ) 9 / 16 ) 4 / 9 {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{L^{*}}={\frac {0,560\,{Ra}_{L^{*}}^{1/4}}{\left(1+\left(0,492/{Pr}\right)^{9/16}\right)^{4/9}}}} .

Si N u ¯ L ∗ ⩽ 10 {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{L^{*}}\leqslant 10} une correction est proposée :

N u ¯ c o r r = 1 , 4 ln ⁡ ( 1 + 1 , 4 N u L ∗ ) {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{corr}={\frac {1,4}{\ln \left(1+1,4{\sqrt {{N\!u}_{L^{*}}}}\right)}}} .
 R a L ∗ ⩽ 10 7 {\displaystyle {Ra}_{L^{*}}\leqslant 10^{7}}
Surface plane horizontale à densité de flux constant : surface chaude vers le bas ou surface froide vers le haut
N u ¯ L ∗ = C R a L ∗ n {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{L^{*}}=C\,{Ra}_{L^{*}}^{n}} n = 1 / 5 {\displaystyle n=1/5} et C = 0 , 13 {\displaystyle C=0,13} [21] 10 6 ⩽ R a L ∗ ⩽ 10 11 {\displaystyle 10^{6}\leqslant {Ra}_{L^{*}}\leqslant 10^{11}}
Surface plane horizontale à densité de flux constant : surface chaude vers le haut ou surface froide vers le bas
N u ¯ L ∗ = C R a L ∗ n {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{L^{*}}=C\,{Ra}_{L^{*}}^{n}} n = 1 / 3 {\displaystyle n=1/3} et C = 0 , 13 {\displaystyle C=0,13} [21] R a L ∗ < 2.10 8 {\displaystyle {Ra}_{L^{*}}<2.10^{8}}
n = 1 / 3 {\displaystyle n=1/3} et C = 0 , 16 {\displaystyle C=0,16} [21] 5.10 8 ⩽ R a L ∗ ⩽ 10 11 {\displaystyle 5.10^{8}\leqslant {Ra}_{L^{*}}\leqslant 10^{11}}
Cylindre horizontal isotherme
Morgan[13],[14] :
N u ¯ D = C R a D n {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{D}=C\,{Ra}_{D}^{n}}
n = 0 , 058 {\displaystyle n=0,058} et C = 0 , 675 {\displaystyle C=0,675} 10 − 10 ⩽ R a D ⩽ 10 − 2 {\displaystyle 10^{-10}\leqslant {Ra}_{D}\leqslant 10^{-2}}
n = 0 , 148 {\displaystyle n=0,148} et C = 1 , 02 {\displaystyle C=1,02} 10 − 2 ⩽ R a D ⩽ 10 2 {\displaystyle 10^{-2}\leqslant {Ra}_{D}\leqslant 10^{2}}
n = 0 , 188 {\displaystyle n=0,188} et C = 0 , 850 {\displaystyle C=0,850} 10 2 ⩽ R a D ⩽ 10 4 {\displaystyle 10^{2}\leqslant {Ra}_{D}\leqslant 10^{4}}
n = 0 , 250 {\displaystyle n=0,250} et C = 0 , 480 {\displaystyle C=0,480} 10 4 ⩽ R a D ⩽ 10 7 {\displaystyle 10^{4}\leqslant {Ra}_{D}\leqslant 10^{7}}
n = 0 , 333 {\displaystyle n=0,333} et C = 0 , 125 {\displaystyle C=0,125} 10 7 ⩽ R a D ⩽ 10 12 {\displaystyle 10^{7}\leqslant {Ra}_{D}\leqslant 10^{12}}
Churchill et Chu[24] :
N u ¯ D = 0 , 36 + 0 , 514 R a D 1 / 4 ( 1 + ( 0 , 559 / P r ) 9 / 16 ) 4 / 9 {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{D}=0,36+{\frac {0,514\,{Ra}_{D}^{1/4}}{\left(1+\left(0,559/{Pr}\right)^{9/16}\right)^{4/9}}}} .
 10 − 6 ⩽ R a D ⩽ 10 9 {\displaystyle 10^{-6}\leqslant {Ra}_{D}\leqslant 10^{9}}
Pour une plus large gamme d'utilisations[24],[25],[26],[14] :
N u ¯ D = ( 0 , 60 + 0 , 387 ( R a D ( 1 + ( 0 , 559 / P r ) 9 / 16 ) 16 / 9 ) 1 / 6 ) 2 {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{D}=\left(0,60+0,387\left({\frac {{Ra}_{D}}{\left(1+\left(0,559/{Pr}\right)^{9/16}\right)^{16/9}}}\right)^{1/6}\right)^{2}} .
 10 − 4 < R a D < 10 12 {\displaystyle 10^{-4}<{Ra}_{D}<10^{12}} [25]
Cylindre vertical isotherme
N u ¯ L = 4 3 ( 7 R a L P r 100 + 105 P r ) 1 / 4 + 0 , 1143 272 + 315 P r 64 + 63 P r L D {\displaystyle {\overline {Nu}}_{L}={\frac {4}{3}}\left({\frac {7\,{Ra}_{L}\,{Pr}}{100+105\,{Pr}}}\right)^{1/4}+0,1143{\frac {272+315\,{Pr}}{64+63\,{Pr}}}{\frac {L}{D}}} [26] D L > 35 G r − 1 / 4 {\displaystyle {\frac {D}{L}}>35\,{Gr}^{-1/4}}
Il est possible d'utiliser les mêmes corrélations que pour une surface plane isotherme, le coefficient de convection est obtenu par l'intermédiaire d'un facteur correcteur de sorte que[25],[27] :
h c y l ( x ) h p l a n ( x ) = 2 2 G r x 1 / 4 x R {\displaystyle {\frac {h_{\mathrm {cyl} }(x)}{h_{\mathrm {plan} }(x)}}={\frac {2{\sqrt {2}}}{{Gr}_{x}^{1/4}}}{\frac {x}{R}}} ,
h ¯ c y l h ¯ p l a n = 2 2 G r L 1 / 4 L R {\displaystyle {\frac {{\overline {h}}_{\mathrm {cyl} }}{{\overline {h}}_{\mathrm {plan} }}}={\frac {2{\sqrt {2}}}{{Gr}_{L}^{1/4}}}{\frac {L}{R}}} .

R {\displaystyle R} est le rayon du cylindre, D {\displaystyle D} son diamètre et L {\displaystyle L} sa longueur.

Sphère isotherme
Yuge[27],[28] :
N u ¯ D = 2 + 0 , 43 R a D 1 / 4 {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{D}=2+0,43\,{Ra}_{D}^{1/4}} .
 Dans un gaz et R a D < 10 5 {\displaystyle {Ra}_{D}<10^{5}}
Autre corrélation pour tous types de fluides[26],[27],[29] :
N u ¯ D = 2 + 0 , 589 R a D 1 / 4 ( 1 + ( 0 , 492 / P r ) 9 / 16 ) 4 / 9 {\displaystyle {\overline {N\!u}}_{D}=2+{\frac {0,589\,{Ra}_{D}^{1/4}}{\left(1+\left(0,492/{Pr}\right)^{9/16}\right)^{4/9}}}} .
 R a D < 10 12 {\displaystyle {Ra}_{D}<10^{12}} et P r > 0 , 7 {\displaystyle {Pr}>0,7}
 

Annexes

Références

  1. ↑ Yves Jannot, Transferts thermiques : cours et 55 exercices corrigés, Édilivre, (ISBN 978-2-332-83699-1), p. 81
  2. ↑ Jean-Luc Battaglia et al. 2010, p. 104
  3. ↑ a et b Theodore L. Bergman et al. 2011, p. 437-442
  4. ↑ Theodore L. Bergman et al. 2011, p. 443
  5. ↑ Theodore L. Bergman et al. 2011, p. 458
  6. ↑ a et b John H. Lienhard 2003, p. 349-351
  7. ↑ a et b Theodore L. Bergman et al. 2011, p. 538-539
  8. ↑ Theodore L. Bergman et al. 2011, p. 524
  9. ↑ a b c d e f et g Theodore L. Bergman et al. 2011, p. 605
  10. ↑ a b c d e f et g Jean-Luc Battaglia et al. 2010, p. 118
  11. ↑ a et b M. Necati Ozisik 1985, p. 427
  12. ↑ a et b John H. Lienhard 2003, p. 414
  13. ↑ a et b M. Necati Ozisik 1985, p. 445
  14. ↑ a b et c Theodore L. Bergman et al. 2011, p. 613
  15. ↑ a et b John H. Lienhard 2003, p. 408
  16. ↑ a b c d et e M. Necati Ozisik 1985, p. 431-436
  17. ↑ a b c d et e Jean Taine et Franck Enguehard 2014, p. 429-430
  18. ↑ a b c d et e John H. Lienhard 2003, p. 422-423
  19. ↑ a b et c M. Necati Ozisik 1985, p. 440
  20. ↑ a b c d e f et g Jean Taine et Franck Enguehard 2014, p. 431
  21. ↑ a b c d e f g h et i M. Necati Ozisik 1985, p. 436-439
  22. ↑ a b c d et e Theodore L. Bergman et al. 2011, p. 610
  23. ↑ a b c et d John H. Lienhard 2003, p. 422
  24. ↑ a et b John H. Lienhard 2003, p. 416
  25. ↑ a b et c M. Necati Ozisik 1985, p. 443
  26. ↑ a b et c Jean Taine et Franck Enguehard 2014, p. 432
  27. ↑ a b et c John H. Lienhard 2003, p. 419
  28. ↑ M. Necati Ozisik 1985, p. 447
  29. ↑ Theodore L. Bergman et al. 2011, p. 617

Bibliographie

  • (en) Theodore L. Bergman, Adrienne S. Lavine, Franck P. Incropera et David P. Dewitt, Fundamentals of heat and Mass transfer, John Wiley & Sons, , 7e éd. (ISBN 978-0470-50197-9)
  • (en) M. Necati Ozisik, Heat Transfer: A Basic Approach, McGraw-Hill Education, (ISBN 9780070664609)
  • (en) John H. Lienhard,, A heat transfer textbook, Phlogiston Press, , 3e éd. (ISBN 978-0-9713835-2-4, lire en ligne)
  • Jean Taine et Franck Enguehard, Transferts thermiques : introduction aux transferts d'énergie : cours et exercices d'application, , 5e éd. (ISBN 978-2-10-071458-2)
  • Bernard Eyglunent, Manuel de thermique - Théorie et pratique, Hermès - Lavoisier, , 374 p.
  • Jean-Luc Battaglia, Andrzej Kusiak et Jean-Rodolphe Puiggali, Introduction aux transferts thermiques : Cours et exercices corrigés, Paris, Dunod, (ISBN 978-2-10-054828-6)

Articles connexes

v · m
Par ordre alphabétique
-- Catégorie:Nombre adimensionnel utilisé en mécanique des fluides --
v · m
Branches
Fluides
Écoulements
Comportement rhéologique
Équations
Nombres sans dimension
  • icône décorative Portail de la physique
  • icône décorative Portail de l’énergie