Peigne de Dirac

La distribution peigne de Dirac est une série infinie de distributions de Dirac espacées de T.

En mathématiques, la distribution peigne de Dirac, ou distribution cha (d'après la lettre cyrillique Ш), est une somme de distributions de Dirac espacées de T :

I I I T ( t )   = d e f   ∑ k = − ∞ ∞ δ k T ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ δ ( t − k T ) . {\displaystyle \mathrm {III} _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta _{kT}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT).}

Cette distribution périodique est particulièrement utile dans les problèmes d'échantillonnage, remplacement d'une fonction continue par une suite de valeurs de la fonction séparées par un pas de temps T (voir Théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon).

Séries de Fourier

Cette distribution est T-périodique et tempérée, comme dérivée d'une fonction constante par morceaux ; on peut donc la développer en série de Fourier[1] :

I I I T ( t ) = 1 T ∑ n = − ∞ ∞ e i 2 π n t / T {\displaystyle {\mathrm {III} _{T}}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\rm {e}}^{{\rm {i}}2\pi nt/T}} .

Il faut cependant comprendre cette série comme convergente au sens des distributions ; en effet, le terme général ne converge pas vers 0.

Propriété fondamentale du peigne de Dirac

La propriété fondamentale de la distribution de Dirac

∫ − ∞ + ∞ x ( t ) δ t 0 ( t ) d t = x ( t 0 ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }x(t)\,\delta _{t_{0}}(t)\,{\rm {dt}}=x(t_{0})}

conduit à la propriété fondamentale du peigne

∫ − ∞ + ∞ x ( t ) I I I T ( t ) d t = ∑ k = − ∞ + ∞ x ( k T ) . {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }x(t)\,\mathrm {III} _{T}(t)\,{\rm {dt}}=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x(kT).}

Le calcul approché d'une intégrale par la méthode des rectangles est équivalent au calcul de l'intégrale de la fonction multipliée par un peigne de Dirac.

Il faut préciser que la formule ci-dessus n'est pas correcte en termes de dimensions dans les problèmes d'échantillonnage où la variable t est généralement le temps. Pour cette raison, le peigne défini ci-dessus est alors multiplié par la largeur τ de l'impulsion d'échantillonnage.

Le signal f τ ( t ) {\displaystyle f_{\tau }(t)} délivré en sortie de l'échantillonneur est une suite d'impulsions d'amplitude f(nT) et de largeur τ (avec τ ≪ T {\displaystyle \tau \ll T} ).

f τ ( t ) {\displaystyle f_{\tau }(t)} peut alors s'écrire :

f τ ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ τ f ( n T ) δ ( t − n T ) {\displaystyle f_{\tau }(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\tau \,f(nT)\,\delta (t-nT)}

L'échantillonneur de période T ainsi réalisé répond, au facteur τ près, à la définition de l'opérateur mathématique qui, à toute fonction f(t), fait correspondre une fonction f*(t) définie par :

f ∗ ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ f ( n T ) δ ( t − n T ) , {\displaystyle f^{*}(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(nT)\,\delta (t-nT),}

expression dans laquelle δ ( t − n T ) {\displaystyle \delta (t-nT)} désigne une impulsion de Dirac apparaissant à l'instant nT.

Ainsi, le signal généré en sortie de l'échantillonneur est : f τ ( t ) = τ f ∗ ( t ) . {\displaystyle f_{\tau }(t)=\tau \,f^{*}(t).}

Transformée de Fourier

Par l'utilisation de la formule sommatoire de Poisson, on peut montrer que la transformée de Fourier du peigne de Dirac en temps est également un peigne de Dirac, en fréquence :

I I I T ^ ( f ) = 1 T ∑ k = − ∞ ∞ δ k / T ( f ) = 1 T I I I 1 / T ( f ) . {\displaystyle {\widehat {\mathrm {III} _{T}}}(f)={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta _{k/T}(f)={\frac {1}{T}}\,\mathrm {III} _{1/T}(f).}

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dirac comb » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ Pour le détail du calcul, voir par exemple cette section de la leçon « Série et transformée de Fourier en physique » sur Wikiversité.

Liens externes

  • (en) Eric W. Weisstein, « Shah Function », sur MathWorld

Voir aussi

  • icône décorative Portail de l'analyse