Problème de Fagnano

Le problème de Fagnano, encore appelé « problème du triangle de Schwarz », est un célèbre problème de géométrie euclidienne résolu par le mathématicien italien Giulio Fagnano (1682-1766) et son fils Giovanni Fagnano (en) (1715-1797)^[1] :

Peut-on inscrire un triangle de périmètre minimal dans un triangle acutangle donné ?

Énoncé

Théorème — Soit ΔABC un triangle acutangle donné. Il existe un unique triangle ΔMNP de périmètre minimal, inscrit dans ΔABC. Ce triangle a pour sommets les pieds des hauteurs issues de ΔABC. Le triangle ΔMNP est appelé le triangle orthique.

Démonstration

Soit ΔABC le triangle donné. On cherche les points M, N et P sur les côtés [BC], [AC] et [AB] respectivement, de sorte que le périmètre de ΔMNP soit minimal.

On considère dans un premier temps une version plus simple du problème. On fixe un point P arbitraire sur (AB), afin de déterminer les points M et N sur (BC) et (AC) respectivement, tels que ΔMNP soit de périmètre minimal (ce minimum dépendra du choix de P). Soit P₁ l'image de P par la réflexion d'axe (BC) et P₂ d'axe (AC). Alors CP₁ = CP₂, ${\widehat {P_{1}CB}}={\widehat {PCB}}$ et ${\widehat {P_{2}CA}}={\widehat {PCA}}$ . En posant $\gamma ={\widehat {BCA}}$ , on en déduit ${\widehat {P_{1}CP_{2}}}=2\gamma$ . De plus, 2γ < 180°, puisque γ < 90°, par définition. Par conséquent, la droite (P₁P₂) coupe les côtés [BC] et [AC] de ΔABC aux points M et N respectivement et le périmètre de ΔMNP est égal à la distance P₁P₂. D'une manière analogue, si Z est un point quelconque sur [BC] et Y un point quelconque sur [AC], le périmètre de ΔZPY est égal à la longueur de la ligne brisée P₁ZYP₂, qui est supérieure ou égale à P₁P₂. Ainsi, le périmètre de ΔZPY est supérieur ou égal au périmètre de ΔPMN et l'égalité a lieu précisément lorsque Z = M et Y = N.

Ainsi, il faut trouver un point P de [AB] de sorte que [P₁P₂] soit de longueur minimale. On remarque que ce segment est la base d'un triangle isocèle P₂P₁C avec comme angle constant 2γ au point C et comme côtés CP₁ = CP₂ = CP. Ainsi, il faut choisir P sur [AB] de sorte que CP₁ = CP soit minimal. Il est évident que ce minimum est obtenu lorsque P est le pied de la hauteur issue de C.

Remarquons maintenant que si P est le pied de la hauteur issue de C, alors M et N sont les pieds des deux autres hauteurs de ΔABC. Pour prouver cette assertion, notons M₁ et N₁ les pieds des hauteurs de ΔABC passant par A et B respectivement. Alors

{\widehat {BM_{1}P_{1}}}={\widehat {BM_{1}P}}={\widehat {BAC}}={\widehat {CM_{1}N_{1}}},

ce qui montre que le point P₁ appartient à la droite (M₁N₁). D'une manière analogue, P₂ appartient à la droite (M₁N₁) et donc M = M₁ et N = N₁.

En conclusion, de tous les triangles inscrits à ΔABC, celui de périmètre minimal est celui dont les sommets sont les pieds des hauteurs issues de ΔABC.

Cas du triangle obtusangle

Lorsque ΔABC est obtusangle, le triangle MNP est tel que M, N et C sont confondus, et P le pied de la hauteur issue de C. Dans ce cas, on dit que ΔMNP est dégénéré.

Notes et références

↑ (en) Paul J. Nahin, When Least Is Best, PUP, 2011 (lire en ligne), p. 65.

(en) Hans Rademacher et Otto Toeplitz, The Enjoyment of Math, PUP, 1994 (lire en ligne), p. 30
(en) Nguyen Minh Ha, « Another Proof of Fagnano’s Inequality », Forum Geometricorum, vol. 4,‎ 2004, p. 199–201 (ISSN 1534-1178, lire en ligne)

v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron