Théorème de Jacobi

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Ne doit pas être confondu avec Théorème de Jacobi (géométrie).

En théorie des nombres, le théorème de Jacobi, dû à Charles Gustave Jacob Jacobi, précise, pour tout entier n > 0, le nombre r4(n) de façons de décomposer n sous forme d'une somme de quatre carrés (plus précisément : le nombre de quadruplets (a, b, c, d) d'entiers relatifs tels que n = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 {\displaystyle n=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}} ) :

r 4 ( n ) = 8 ∑ d ∣ n ,   4 ∤ d d . {\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{d\mid n,~4\nmid d}d.}

Le théorème des quatre carrés de Lagrange s'en déduit.

Bibliographie

  • (de) Adolf Hurwitz, Vorlesungen über die Zahlentheorie der Quaternionen, (lire en ligne), chap. 11, p. 58-60
  • (la) C. G. J. Jacobi, « De compositione numerorum e quatuor quadratis », J. Reine Angew. Math., vol. 12,‎ , p. 167-172 (lire en ligne)
  • J. P. G. Lejeune-Dirichlet, « Sur l'équation t 2 + u 2 + v 2 + w 2 = 4 m {\displaystyle t^{2}+u^{2}+v^{2}+w^{2}=4m}  », J. Math. Pures Appl., 2e série, vol. 1,‎ , p. 210-214 (lire en ligne)
  • icône décorative Arithmétique et théorie des nombres