Théorème de Morera

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En mathématiques, plus précisément en analyse complexe, le théorème de Morera (du nom du mathématicien italien Giacinto Morera) est « une réciproque utile du théorème intégral de Cauchy[1],[2] » ou plus précisément de son ingrédient principal, le lemme de Goursat.

Il énonce qu'une fonction continue sur un ouvert est holomorphe dès que son intégrale le long de tout triangle[3] inclus dans cet ouvert est nulle :

Soit U un ouvert du plan complexe et soit f une fonction à valeurs complexes continue sur U. Si, pour tout triangle T dont la frontière ∂ T {\displaystyle \partial T} est incluse dans U, on a

∫ ∂ T f ( z )   d z = 0 {\displaystyle \int _{\partial T}f(z)~\mathrm {d} z=0}

alors f est holomorphe sur U.


Notes et références

  1. ↑ Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions], p. 202.
  2. ↑ Srishti D. Chatterji, Cours d'analyse : vol. 2, Analyse complexe, PPUR, , 536 p. (ISBN 978-2-88074-346-8, lire en ligne), p. 154.
  3. ↑ Dany-Jack Mercier, Lectures sur les mathématiques, l'enseignement et les concours, vol. 2, Publibook, (ISBN 978-2-74835532-1), p. 95, énonce, sous ce titre, une variante avec des rectangles.
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