Bijekció

bijektív függvény

A matematikában bijekciónak vagy bijektív leképezésnek nevezzük azokat a leképezéseket, amelyek egyidejűleg injektívek és szürjektívek. Más szavakkal azt is mondhatjuk, hogy a bijektív leképezések kölcsönösen egyértelmű ráképezések. Amennyiben emellett a leképezés értelmezési tartománya megegyezik azzal a halmazzal, amiből képez le (tehát a halmaz összes eleméhez rendel elemet), akkor bijekció olyan megfeleltetést létesít két halmaz között, aminél az egyik halmaz minden egyes elemének a másik halmaz pontosan egy eleme felel meg, és fordítva.

Definíció

Legyen A , B {\displaystyle A,B} tetszőleges halmazok és f : A → B {\displaystyle f:A\to B} képező leképezés. Akkor mondjuk, hogy f {\displaystyle f} bijekció, ha

  • tetszőleges a , b ∈ A {\displaystyle a,b\in A} és f ( a ) = f ( b ) {\displaystyle f(a)=f(b)} esetén a = b {\displaystyle a=b} , valamint
  • minden b ∈ B {\displaystyle b\in B} -re létezik a ∈ A {\displaystyle a\in A} úgy, hogy f ( a ) = b {\displaystyle f(a)=b} ,

azaz ha injekció és szürjekció is egyszerre.

Példák

  • Az egész számok halmazán értelmezett f : Z → Z , a ↦ a + 1 {\displaystyle f:\mathbf {Z} \to \mathbf {Z} ,a\mapsto a+1} függvény bijekció.
  • Tetszőleges X {\displaystyle X} halmazra az i d : X → X , x ↦ x {\displaystyle id:X\to X,x\mapsto x} identikus megfeleltetés bijektív leképezés.

Tulajdonságok

Injekcióból és szürjekcióból képezett bijekció.
  • Ha az f {\displaystyle f} függvény bijektív, akkor a megfeleltetésként (relációként) vett inverze szintén függvény és egyúttal bijektív leképezés.
  • Ha az f , g {\displaystyle f,g} leképezések bijektívek, akkor a kompozíciójuk is bijektív leképezés.
  • Ha az g ∘ f {\displaystyle g\circ f} függvénykompozíció bijektív leképezés, akkor a g {\displaystyle g} leképezés szürjekció és az f {\displaystyle f} leképezés injekció.
  • Ha X , Y {\displaystyle X,Y} véges halmazok és | X | = | Y | {\displaystyle |X|=|Y|} , továbbá f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} leképezés, akkor a következő állítások ekvivalensek:
    • f {\displaystyle f} bijekció.
    • f {\displaystyle f} szürjekció.
    • f {\displaystyle f} injekció.

Kapcsolódó szócikkek

További információk

  • Alice és Bob - 13. rész: Alice és Bob eladósodik

Hivatkozások

  • Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)