Christoffel-szimbólumok

A Christoffel-szimbólumok a tér "görbeségére" vonatkozó mennyiségek a differenciálgeometriában. Bevezetésük Elwin Bruno Christoffel (1829–1900) nevéhez fűződik.

Definíciójuk

Vegyük az xⁱ, i = 1,2,...,n, koordináta bázist az n dimenziós M differenciálható sokaságon. Legyen

${\displaystyle e_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}},\quad i=1,2,\dots ,n}$

a tangens tér bázisa. Jelölje ${\displaystyle g_{ab}}$ a metrikus tenzort. Ekkor felsőindexes Christoffel-szimbólumoknak nevezzük a következő mennyiségeket

${\displaystyle \Gamma _{k\ell }^{i}={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{\ell }}}+{\frac {\partial g_{m\ell }}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{k\ell }}{\partial x^{m}}}\right)\ }$

Itt és a következőkben, a kétszer előforduló indexekre automatikusan összegzés értendő (Einstein-féle konvenció). Jelölje vessző a parciális deriváltat. E jelöléssel a Christoffel-szimbólumok a következőképpen írhatóak:

${\displaystyle \Gamma _{k\ell }^{i}={1 \over 2}g^{im}(g_{mk,\ell }+g_{m\ell ,k}-g_{k\ell ,m}).\ }$

Alsó indexes formája

A Christoffel-szimbólumok alsó indexes formája a következő alakú:

${\displaystyle \Gamma _{\gamma \,\alpha \beta }=g_{\gamma \delta }\Gamma _{\alpha \beta }^{\delta }={1 \over 2}(g_{\gamma \alpha ,\beta }+g_{\beta \gamma ,\alpha }-g_{\alpha \beta ,\gamma })\,.}$

Szimmetriája

A definícióból következően a Christoffel-szimbólumok az alsó indexeikben szimmetrikusak:

${\displaystyle \Gamma _{k\ell }^{i}=\Gamma _{\ell k}^{i}}$

Hasonlóan, az alsó indexes Christoffel-szimbólumok pedig a két utolsó indexükben szimmetrikusak:

${\displaystyle \Gamma _{i\,km}=\Gamma _{i\,mk}}$

Kapcsolódó szócikkek

• Általános relativitáselmélet
• Differenciálgeometria
• Vektortér

Források

Hajós György: Differenciálgeometria I. Tankönyvkiadó. Budapest. 1973.

Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet. Akadémiai Kiadó. Budapest. 2006