Hibaterjedés

A statisztikában hibaterjedésnek nevezik a származtatott mennyiségek hibájának az alapul szolgáló mennyiségek hibájától való függését, illetve magát a matematikai módszert, mellyel a származtatott mennyiségek hibáját becslik. A hibaterjedés figyelembe vétele a fizikában is gyakran használatos, ha például hibával terhelt mért mennyiségekből valamilyen összefüggés segítségével származtatott új mennyiség hibáját határozzák meg.

Például ha egy, az Ohm-törvénynek engedelmeskedő áramköri rendszeren mérjük az ${\displaystyle I}$ átfolyó áramot, és annak ${\displaystyle \Delta I}$ bizonytalanságát, továbbá az első ${\displaystyle U}$ feszültséget, és annak ${\displaystyle \Delta U}$ bizonytalanságát, akkor az ellenállás meghatározására szolgáló ${\textstyle R=f(U,I)={\frac {U}{I}}}$ összefüggés és a hibaterjedés figyelembe vételével a származtatott ellenállás ${\displaystyle \Delta R}$ bizonytalansága jól közelíthető. Egyes esetekben, például ${\displaystyle f=AB}$ alakú összefüggés esetén ${\displaystyle f}$ hibája egzakt módon is kifejezhető, de általában sorfejtésen alapuló, lineáris közelítést alkalmaznak.

A hibaterjedés jellegét alapvetően az alábbiak határozzák meg:

• A kiinduló mennyiségek bizonytalanságának összefüggése illetve függetlensége befolyásolja a származtatott mennyiség hibájának számolását.
• A származtatott mennyiség kifejezését megadó ${\displaystyle f}$ összefüggés jellege befolyásolja, hogy mely mért mennyiségek hibája milyen mértékben járul hozzá a származtatott hibához.

Számolási módja

Lineáris kombináció esetén

A hibaterjedés matematikai jellemzése abban az esetben egyszerűbb, ha a származtatott változót megadó ${\displaystyle f}$ összefüggés a kiindulási változóknak lineáris kombinációja. Ezért ezzel az esettel külön érdemes foglalkozni. Legyen ${\displaystyle \{f_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\}}$ m elemű halmaz minden eleme olyan függvény, mely ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ változók lineáris kombinációjaként áll elő ${\displaystyle A_{k1},A_{k2},\dots ,A_{kn}}$ együtthatókkal, ahol ${\displaystyle (k=1,\dots ,m)}$, azaz:

${\displaystyle f_{k}=\sum _{i=1}^{n}A_{ki}x_{i}}$, illetve mátrixjelöléssel: ${\displaystyle \mathrm {f} =\mathrm {Ax} }$

Legyen ${\displaystyle \Sigma ^{x}\,}$a kovarianciamátrix az alábbi jelölésekkel, ahol ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$:

${\displaystyle \Sigma ^{x}={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}&\sigma _{12}&\sigma _{13}&\cdots \\\sigma _{12}&\sigma _{2}^{2}&\sigma _{23}&\cdots \\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{3}^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\mathit {\Sigma }}_{1}^{x}&{\mathit {\Sigma }}_{12}^{x}&{\mathit {\Sigma }}_{13}^{x}&\cdots \\{\mathit {\Sigma }}_{12}^{x}&{\mathit {\Sigma }}_{2}^{x}&{\mathit {\Sigma }}_{23}^{x}&\cdots \\{\mathit {\Sigma }}_{13}^{x}&{\mathit {\Sigma }}_{23}^{x}&{\mathit {\Sigma }}_{3}^{x}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}$.

Az ${\displaystyle f}$ függvény ${\displaystyle \Sigma ^{f}\,}$ kovarianciamátrixa ezzel úgy adható meg, hogy:

${\displaystyle {\mathit {\Sigma }}_{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}\sum _{\ell }^{n}A_{ik}{\mathit {\Sigma }}_{k\ell }^{x}A_{j\ell }}$, illetve mátrixjelöléssel: ${\displaystyle \Sigma ^{f}=\mathrm {A} \Sigma ^{x}\mathrm {A} ^{\top }}$.

A fenti általános összefüggés megengedi a változók közti korrelációt is. Ha azonban az ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ változók hibája egymástól független, a fenti összefüggés egyszerűbb alakba írható:

${\displaystyle {\mathit {\Sigma }}_{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}A_{ik}{\mathit {\Sigma }}_{k}^{x}A_{jk}}$,

ahol ${\displaystyle {\mathit {\Sigma }}_{k}^{x}=\sigma _{x_{k}}^{2}}$ az v vektor k-adik elemének szórásnégyzete.

Skalárértékű ${\displaystyle f}$ függvényre ismét egyszerűbb összefüggést kapunk:

${\displaystyle f=\sum _{i}^{n}a_{i}x_{i}:f=\mathrm {a} x\,}$,

${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}\sum _{j}^{n}a_{i}{\mathit {\Sigma }}_{ij}^{x}a_{j}=\mathrm {a} \Sigma ^{x}\mathrm {a} ^{\top }}$,

ahol a sorvektor. A ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ kovarianciák kifejezhetők a szórásokkal és a megfelelő ${\displaystyle \rho _{ij}\,}$ Pearson-féle korrelációs együtthatóval: ${\displaystyle \sigma _{ij}=\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}\,}$, melyből következik a származtatott szórásnégyzet egy másik kifejezése:

${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}+\sum _{i}^{n}\sum _{j(j\neq i)}^{n}a_{i}a_{j}\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}}$,

mely független változók esetén:

${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}.}$

Még speciálisabb esetet képvisel a több, megegyező szórású változó egyenlő együtthatójú kombinációja esetén megadható

${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {n}}a\sigma }$.

Nemlineáris összefüggéseknél

Ha az f az x változók nemlineáris függvénye, akkor csak egyes esetekben adható meg pontos hibaszámítási formula, de általában például úgy közelíthető a származtatott mennyiség hibája, hogy az ${\displaystyle f}$ függvényt az alábbiak szerint lineáris tagig Taylor-sorba fejtjük:

${\displaystyle f_{k}\approx f_{k}^{0}+\sum _{i}^{n}{\frac {\partial f_{k}}{\partial {x_{i}}}}x_{i}}$,

ahol ${\displaystyle \partial f_{k}/\partial x_{i}}$ az ${\displaystyle f_{k}}$ függvény ${\displaystyle x_{i}}$ szerinti parciális deriváltjának ${\displaystyle x_{i}}$ átlagánál felvett értékét jelöli. Mátrixjelöléssel:

${\displaystyle \mathrm {f} \approx \mathrm {f} ^{0}+\mathrm {J} \mathrm {x} \,}$

ahol ${\displaystyle \mathrm {J} }$ a Jacobi-mátrix. Mivel ${\displaystyle f^{0}}$ konstans, ezért nem járul hozzá ${\displaystyle f}$ hibájához. Ezzel tehát a lineáris kombinációra levezetett hibaterjedést kapjuk vissza azzal a különbséggel, hogy az ${\displaystyle A_{ik},A_{jk}}$ együtthatók helyébe a parciális deriváltak áltagnál felvett ${\textstyle {\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{i}}},{\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{j}}}}$ értékei lépnek, így:^[1]

${\displaystyle \mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {f} }=\mathrm {J} \mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {x} }\mathrm {J} ^{\top }.}$

Tehát a függvény Jacobi-matrixával fejezhető ki az ${\displaystyle x_{i}}$-k kovarianciamátrixának transzformációja.

Gauss-hibaterjedési formula

A mérnöki gyakorlatban és az alkalmazott kutatásban gyakran élnek azzal a közelítéssel a nemlineáris ${\displaystyle f}$ hibájának becslésére, hogy ${\displaystyle x_{i}}$ változók függetlenek. Ekkor ugyanis az alábbi, könnyen kezelhető hibaterjedési összefüggés írható fel:

${\displaystyle s_{f}\approx {\sqrt {\sum _{i}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)^{2}s_{x_{i}}^{2}}}}$

ahol ${\displaystyle s_{f}}$ az ${\displaystyle f}$ szórása, ${\displaystyle s_{x_{i}}}$ pedig az ${\displaystyle x_{i}}$ szórása. Mivel a fenti összefüggés a sorfejtés lineáris tagjának megtartásán, a többi tag elhagyásán alapul, ezért a származtatott hiba mértékét csak közelíti. Általában azt mondhatjuk, hogy a közelítés elég jó, ha az ${\displaystyle s_{x},s_{y},s_{z},\ldots }$ szórások nem olyan nagyok, hogy az ${\displaystyle f}$ lineáris közelítése egy ${\displaystyle s_{x},s_{y},s_{z},\ldots }$ sugarú környezetében nem tér el számottevően ${\displaystyle f}$-től.^[2]

Gyakori példák

Az alábbi táblázat a ${\displaystyle \sigma _{A},\sigma _{B}}$ relatív szórásokkal és ${\displaystyle \sigma _{AB}}$ kovarianciával jellemzett ${\displaystyle A,B}$ valószínűségi változókra vonatkozó néhány egyszerű és tipikus összefüggés esetén levezetett hibaszámolást foglalja össze.

Összefüggés	Szórásnégyzet	Szórás
${\displaystyle f=aA\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}=|a|\sigma _{A}}$
${\displaystyle f=aA+bB\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}+2ab\,\sigma _{AB}}$	${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}+2ab\,\sigma _{AB}}}}$
${\displaystyle f=aA-bB\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}-2ab\,\sigma _{AB}}$	${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}-2ab\,\sigma _{AB}}}}$
${\displaystyle f=AB\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}\right]}$[3][4]	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}}}}$
${\displaystyle f={\frac {A}{B}}\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}-2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}\right]}$[5]	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}-2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}}}}$
${\displaystyle f=aA^{b}\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left({a}{b}{A}^{b-1}{\sigma _{A}}\right)^{2}=\left({\frac {{f}{b}{\sigma _{A}}}{A}}\right)^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|{a}{b}{A}^{b-1}{\sigma _{A}}\right|=\left|{\frac {{f}{b}{\sigma _{A}}}{A}}\right|}$
${\displaystyle f=a\ln(bA)\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left(a{\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}}$[6]	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|a{\frac {\sigma _{A}}{A}}\right|}$
${\displaystyle f=a\log _{10}(A)\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left(a{\frac {\sigma _{A}}{A\ln(10)}}\right)^{2}}$[6]	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|a{\frac {\sigma _{A}}{A\ln(10)}}\right|}$
${\displaystyle f=ae^{bA}\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left(b\sigma _{A}\right)^{2}}$[7]	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\left(b\sigma _{A}\right)\right|}$
${\displaystyle f=a^{bA}\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}(b\ln(a)\sigma _{A})^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f(b\ln(a)\sigma _{A})\right|}$
${\displaystyle f=a\sin(bA)\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\cos(bA)\sigma _{A}\right]^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|ab\cos(bA)\sigma _{A}\right|}$
${\displaystyle f=a\cos \left(bA\right)\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\sin(bA)\sigma _{A}\right]^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|ab\sin(bA)\sigma _{A}\right|}$
${\displaystyle f=A^{B}\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {B}{A}}\sigma _{A}\right)^{2}+\left(\ln(A)\sigma _{B}\right)^{2}+2{\frac {B\ln(A)}{A}}\sigma _{AB}\right]}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {B}{A}}\sigma _{A}\right)^{2}+\left(\ln(A)\sigma _{B}\right)^{2}+2{\frac {B\ln(A)}{A}}\sigma _{AB}}}}$

Ha az ${\displaystyle A,B}$ változók függetlenek, azaz a korrelációs együtthatójuk nulla (${\displaystyle \rho _{AB}=0}$) akkor ${\displaystyle \sigma _{AB}=\rho _{AB}\sigma _{A}\sigma _{B}}$ alapján a kovarianciájuk is nulla: ${\displaystyle \sigma _{AB}=0}$.

Függetlenségnél és az ${\displaystyle f=AB}$ összefüggés esetén a szórásnégyzet kifejezésére a Goodman-formula is alkalmazható:^[8]

${\displaystyle V(XY)=E(X)^{2}V(Y)+E(Y)^{2}V(X)+E((X-E(X))^{2}(Y-E(Y))^{2})}$,

melyből a származtatott mennyiség szórásnégyzete:

${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=A^{2}\sigma _{B}^{2}+B^{2}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}}$

Jegyzetek

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Propagation of uncertainty című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

Szakkönyvek

• Szatmáry Zoltán. Mérések kiértékelése – Egyetemi jegyzet [archivált változat] (PDF), Budapest: BME TTK (2010). Hozzáférés ideje: 2017. augusztus 31. [archiválás ideje: 2016. március 27.] 

Tananyagok, ismeretterjesztő weblapok

• Error analysis (megoldott példák) (angol nyelven). http://lectureonline.cl.msu.edu. [2017. szeptember 8-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2017. szeptember 4.)
• A fizikai mérések hibája (Egyetemi laboratóriumi segédanyag) (PDF). Fizipédia. BME. (Hozzáférés: 2017. szeptember 4.)

Kapcsolódó szócikkek

• Mérési hiba
• Kovariancia