Legendre-szimbólum

A Legendre-szimbólum a számelmélet egyik hasznos eszköze. Adrien-Marie Legendre francia matematikus (1752–1833) vezette be Essai sur la Thérie des Nombres c. 1798-as munkájában.

Definíció

Ha p {\displaystyle p} prímszám és a {\displaystyle a} egész szám, akkor az ( a p ) {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)} Legendre-szimbólum értéke:

  • 0, ha p {\displaystyle p} osztja a {\displaystyle a} -t,
  • 1, ha a {\displaystyle a} kvadratikus maradék p {\displaystyle p} -re nézve – azaz van olyan egész k {\displaystyle k} hogy k 2 ≡ a ( mod p ) {\displaystyle k^{2}\equiv a{\pmod {p}}} ,
  • –1, ha a {\displaystyle a} kvadratikus nemmaradék p {\displaystyle p} -re nézve, tehát nincs fenti tulajdonságú k {\displaystyle k} egész szám

A Legendre-szimbólum tulajdonságai

A Legendre-szimbólumot tulajdonságai gyorsan számolhatóvá teszik:

  1. ( a b p ) = ( a p ) ( b p ) {\displaystyle \left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right)} (felső változójában teljesen multiplikatív függvény)
  2. Ha a ≡ b ( mod p ) {\displaystyle a\equiv b{\pmod {p}}} , akkor ( a p ) = ( b p ) {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right)}
  3. ( 1 p ) = 1 {\displaystyle \left({\frac {1}{p}}\right)=1}
  4. Ha p {\displaystyle p} páratlan prím, akkor ( − 1 p ) = ( − 1 ) p − 1 2 {\displaystyle \left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}} , azaz 1, ha p ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}} és – 1, ha p ≡ 3 ( mod 4 ) {\displaystyle p\equiv 3{\pmod {4}}}
  5. Ha p {\displaystyle p} páratlan prím, akkor ( 2 p ) = ( − 1 ) p 2 − 1 8 {\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}} , ami 1, ha p ≡ 1 {\displaystyle p\equiv 1} vagy 7 ( mod 8 ) {\displaystyle 7{\pmod {8}}\,} és – 1, ha p ≡ 3 {\displaystyle p\equiv 3} vagy 5 ( mod 8 ) {\displaystyle 5{\pmod {8}}\,}
  6. Ha p {\displaystyle p} és q {\displaystyle q} páratlan prímszámok, akkor ( q p ) = ( p q ) ( − 1 ) p − 1 2 ⋅ q − 1 2 {\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=\left({\frac {p}{q}}\right)(-1)^{{\frac {p-1}{2}}\cdot {\frac {q-1}{2}}}}

Az utóbbi állítás a kvadratikus reciprocitás tétele.

Fontos tulajdonság még az Euler-kritérium:

( a p ) ≡ a p − 1 2 ( mod p ) {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}}}

A Legendre-szimbólum fontos példa Dirichlet-karakterre.

Általánosítás

A Jacobi-szimbólum a Legendre-szimbólum általánosítása összetett számokra.

Külső hivatkozások

  • Az Euler-kritérium