PID szabályozó

A PID szabályozó egy lineáris rendszerek szabályozásánál gyakran alkalmazott, párhuzamos kompenzáción alapuló szabályozótípus. A PID rövidítés a szabályozó elvére utal, a szabályozó által kiadott végrehajtójel

• a hibajellel (P: proportional),
• a hibajel integráljával (I: integral), valamint
• a hibajel változási sebességével, deriváltjával (D: derivative)

arányos tagokból adódik össze, azaz a végrehajtójel a jelenlegi hiba, a múltbeli hibák és a várható hibák függvénye. Ezen tagok közül nem mindig valósítják meg mindet, ilyenkor beszélhetünk P, PI, PD szabályozókról. A végrehajtójel használható a folyamat vezérlésére, például egy fűtési rendszer energiaforrásának szabályozására.

Matematikai leírás

A PID szabályozó bemenetét ${\displaystyle e(t)}$-vel, kimenetét ${\displaystyle u(t)}$-vel jelölve azt várjuk el a szabályozótól, hogy

${\displaystyle u(t)=K_{P}e(t)+K_{I}\int _{0}^{t}e(\tau )\mathrm {d} \tau +K_{D}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}e(t).}$

alakú kimenetet állítson elő, ahol ${\displaystyle K_{P}}$ az arányos tag súlyát, ${\displaystyle K_{I}}$ az integráló tag és ${\displaystyle K_{D}}$ a differenciáló tag súlyát adja meg.

Mint lineáris rendszer, a PID szabályozó viselkedése is leírható frekvenciatartományban. Átviteli függvénye párhuzamos, az előző képletből a Laplace-transzformáció alapján következő alakban:

${\displaystyle H(s)=K_{P}+K_{I}{\frac {1}{s}}+T_{D}s}$

Ebben a formában a differenciáló tag valóban a hibajel deriváltjával arányos jelet állítja elő, azonban ebben a tagban a számláló fokszáma nagyobb, mint a nevezőé, vagyis valós rendszerrel nem valósítható meg. Ezért az ideális differenciáló tag helyett egy közelítő D-tagot szokás megvalósítani:

${\displaystyle {\frac {T_{D}s}{1+T_{C}s}}}$

${\displaystyle \displaystyle {T_{C}}}$ megfelelő megválasztásával a szabályozó kisfrekvenciás jelekre jól közelíti az ideális PID szabályozó tulajdonságait.

A tagok közös nevezőre hozásával és a kifejezés átrendezésével megkaphatjuk a szabályozó átviteli függvényének soros alakját:

${\displaystyle H(s)={\dfrac {K_{P}}{T_{I}s}}{\dfrac {(1+\tau _{1}s)(1+\tau _{2}s)}{1+T_{C}s}}}$

A soros alak előnye, hogy rámutat a soros kompenzáció hatására frekvenciatartományban:

Ha a szabályozandó folyamat (szakasz) viselkedésének leírását ismerjük (a rendszer részletes fizikai modellje, vagy a szakaszt identifikálva), a ${\displaystyle \tau _{1}}$ és ${\displaystyle \tau _{2}}$ értékét az identifikált szakasz két legnagyobb időállandójával egyezőnek választva, ${\displaystyle T_{C}}$-t pedig náluk kisebbre választva a rendszer gyorsítható. Az eredő rendszert visszacsatolva pedig az integrátor jelleg (${\displaystyle {\frac {1}{s}}}$-es tényező) a rendszer statikus hibája megszüntethető.

PID szabályozó elmélete

A következőkben leírjuk, hogyan válaszolnak a szabályozó elemei, ha az alapjel^[1] egységugrás függvény szerint változik (kék vonal). Az időfüggvények csak a hasonlóságot jelzik – például villamos szabályozó alapjele 4...20 mA értékek közé eshet, míg a szabályozott jellemző akármi lehet (nyomás, hőmérséklet, folyadékszint, stb.)

Arányos rész

Az arányos tag válaszfüggvényét megkapjuk, ha megszorozzuk a hibajelet a K_p konstanssal. Az arányos tagot a következőképpen adhatjuk meg:

${\displaystyle P_{\mathrm {out} }=K_{p}\,{e(t)}}$

ahol:

${\displaystyle P_{\mathrm {out} }}$: arányos tag kimenete

${\displaystyle K_{p}}$: arányos tag átviteli tényezője (erősítés)

${\displaystyle e}$: hibajel ${\displaystyle =SP-PV}$

${\displaystyle SP}$: Setpoint, alapjel

${\displaystyle PV}$: Process value, szabályozott jellemző

${\displaystyle t}$: Pillanatnyi idő

A magas erősítés azt jelenti, hogy a kimenet változása nagy lesz. Az arányos tag arányos a hibajellel. Ha az erősítés túl nagy, instabilitási problémák léphetnek fel, míg ha túl kicsi, akkor kevésbé érzékeny a szabályzó kör.

Integráló rész

Az integráló-tag arányos a hibajel nagyságával, valamint a hibajel időtartamával is. Összegezve a pillanatnyi hibát időről időre (más szóval integrálva a hibajelet) megadja az offset-hibát. Az offset-hibát célszerű korábban kiküszöbölni. Az összegzett hibát az integrátor erősítésével összeszorozva megkapjuk az integráló tag kimenetét. Az integráló tag erősítését a ${\displaystyle K_{i}}$ paraméter határozza meg.

Az integráló-tagot a következőképpen adhatjuk meg:

${\displaystyle I_{\mathrm {out} }=K_{i}\int _{0}^{t}{e(\tau )}\,{d\tau }}$

ahol:

${\displaystyle I_{\mathrm {out} }}$: Integráló-tag kimenete

${\displaystyle K_{i}}$: Erősítés, integráló tag átviteli tényezője

${\displaystyle SP}$: Setpoint, alapjel

${\displaystyle PV}$: Process value, szabályozott jellemző

${\displaystyle e}$: Hibajel ${\displaystyle =SP-PV}$

${\displaystyle t}$: Pillanatnyi idő

${\displaystyle \tau }$: Integrálási idő

Az integráló tag (amennyiben hozzáadjuk az az arányos-taghoz) gyorsítja a folyamat mozgását az alapérték (SP-Setpoint) felé és kiküszöböli a maradó szabályozási eltérést. Mivel az integráló tag a múltbeli összegzett hibajelekkel áll összefüggésben, a jelenben túllendülést produkálhat a kívánt értékhez képest.

Differenciáló-tag

A hiba változásának nagysága a hibajel meredekségéből határozható meg, azaz vesszük az első deriváltját az idő függvényében és megszorozzuk a differenciáló-tag erősítésével (${\displaystyle K_{d}}$). A ${\displaystyle K_{d}}$ konstans megadja az erősítés nagyságát.

A differenciáló-tag a következőképpen adható meg: ${\displaystyle D_{\mathrm {out} }=K_{d}{\frac {d}{dt}}e(t)}$

ahol:

${\displaystyle D_{\mathrm {out} }}$: Differenciáló-tag kimenete

${\displaystyle K_{d}}$: differenciáló tag átviteli tényezője, erősítés

${\displaystyle SP}$: Setpoint, alapjel

${\displaystyle PV}$: Process value, szabályozott jellemző

${\displaystyle e}$: Hibajel ${\displaystyle =SP-PV}$

${\displaystyle t}$: Pillanatnyi idő

A differenciáló tag késlelteti a szabályozó kimenetének változásának a mértékét. Ezen túl a differenciáló-tag szerepe, hogy csökkentse az integráló-tag túllendülését, valamint fokozza a szabályozási folyamat stabilitását. Azonban a jelek differenciálása erősíti a zajt, ezért ha a zaj és az erősítése ennek a tagnak túl nagy, akkor instabilitási problémák léphetnek fel. A zaj kifejezés helyett a zavaró jellemző is használatos

Kapcsolódó szócikkek

A kifejezések értelmezését lásd a szabályozás szócikkben

Források