Parciális derivált

A matematikai analízisben parciális deriváltnak nevezzük a többváltozós függvények olyan deriváltját, amikor a függvényt egy rögzített változójának függvényeként fogjuk fel, eszerint deriválunk, miközben a többi változójelet konstans értéknek tekintjük. A többváltozós függvények parciális deriváltja az egyváltozós differenciálás hasznos általánosítása, a Fréchet-deriválttal együtt. Ha nem csak a szokásos módon, az Rn térben és annak n kitüntetett iránya mentén kívánjuk értelmezni a parciális derivált fogalmát, akkor két módon általánosíthatjuk. Az egyik az iránymenti derivált, a másik a lokálisan kompakt terekben alkalmazható Gateaux-derivált.

Definíció

Adott, nyílt halmazon értelmezett

f : R n ↦ R , ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) ↦ f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R} ,(x_{1},x_{2},...,x_{n})\mapsto f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}

n változós valós értékű függvény x1 változó szerint parciálisan differenciálható az értelmezési tartománya egy rögzített

( u 1 , u 2 , . . . , u n ) {\displaystyle (u_{1},u_{2},...,u_{n})\,}

pontjában, ha az egyváltozós

f ( . , u 2 , u 3 , . . . , u n ) : x 1 ↦ f ( x 1 , u 2 , u 3 , . . . , u n ) {\displaystyle f(\,.\,,u_{2},u_{3},...,u_{n}):\;{\mathsf {x_{1}}}\mapsto f({\mathsf {x_{1}}},u_{2},u_{3},...,u_{n})}

(ún. parciális-) függvény differenciálható az u1 helyen. Ekkor az előbbi parciális függvény u1-beli deriváltját az f függvény x1 szerinti parciális deriváltjának nevezzük. Hasonlóképpen értelmezhető az x2, x3, … , xn szerinti parciális derivált, mely rendre az f(u1 , ⋅ {\displaystyle \cdot } ,u3,…,un), f(u1,u2, ⋅ {\displaystyle \cdot } ,u4, …, un), … , f(u1, u2,…, ⋅ {\displaystyle \cdot } ) parciális függvények deriváltjai.

Jelölés

Ha az f függvény értelmezési tartományának minden alkalmas pontjához hozzárendeljük az ottani parciális deriváltat, akkor szintén egy többváltozós függvényhez jutunk. A parciális derivált függvényeknek elég sok jelölésük van, melyek mindegyike adott esetben lényegesen megkönnyítheti az írásmódot. Az x1, x2, … , xn vagy x, y, z, …, w változóktól függő f függvény parciális derivált függvényei:

∂ 1 f {\displaystyle \partial _{1}f} , ∂ 2 f {\displaystyle \partial _{2}f} , … , ∂ n f {\displaystyle \partial _{n}f} ,
∂ x f {\displaystyle \partial _{x}f} , ∂ y f {\displaystyle \partial _{y}f} , … , ∂ w f {\displaystyle \partial _{w}f} ,
∂ f ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}} , ∂ f ∂ y {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}} , ∂ f ∂ z {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial z}}} , … , ∂ f ∂ w {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial w}}} ,
f x ′ {\displaystyle f'_{x}\,} , f y ′ {\displaystyle f'_{y}\,} , f z ′ {\displaystyle f'_{z}\,} , … , f w ′ {\displaystyle f'_{w}\,}
Egy z = f(x,y) kétváltozós függvény parciális deriváltjai egy adott (x0, y0) pontban a változókhoz tartozó parciális függvények deriváltjaiként értelmezhetők. A függvénygrafikonból ez geometriailag úgy származtatható, hogy az x = x0 illetve az y = y0 egyenletű síkokkal elmetsszük a függvény által meghatározott felületet és a keletkezett görbéknek, mint egyváltozós függvényeknek meghatározzuk a deriváltjait a keresett pontban. (Az ábrán az f(x,y)= sin(x2+y2)/(x2+y2), f(0,0)=1 függvény grafikonja látható, és az (1,-1) ponthoz tartozó f( . ,-1) és f(1, . ) parciális függvények.)

Deriválási szabályok

Linearitás: ∂ i ( λ f + μ g ) ( x ) = λ ∂ i f ( x ) + μ ∂ i g ( x ) {\displaystyle \partial _{i}(\lambda f+\mu g)(x)=\lambda \partial _{i}f(x)+\mu \partial _{i}g(x)}
Szorzat: ∂ i ( f ⋅ g ) ( x ) = ∂ i f ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ ∂ i g ( x ) {\displaystyle \partial _{i}(f\cdot g)(x)=\partial _{i}f(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot \partial _{i}g(x)}
Projekciófüggvények: ∂ i x k = δ i k {\displaystyle \partial _{i}x_{k}=\delta _{ik}} /Kronecker-delta/
Függvénykompozíció: ∂ i ( φ ∘ f ) ( x ) = φ ′ ( f ( x ) ) ⋅ ∂ i f ( x ) {\displaystyle \partial _{i}(\varphi \circ f)(x)=\varphi '(f(x))\cdot \partial _{i}f(x)} , ∂ i ( f ∘ F ) ( x ) = ∑ k = 1 m ( ∂ k f ) ( F ( x ) ) ⋅ ∂ i F k ( x ) {\displaystyle \partial _{i}(f\circ F)(x)=\sum \limits _{k=1}^{m}(\partial _{k}f)(F(x))\cdot \partial _{i}F_{k}(x)}

ahol φ:R → {\displaystyle \rightarrow } R differenciálható, F: Rm → {\displaystyle \rightarrow } Rn komponensfüggvényenként parciálisan differenciálható függvény.

Példa

Az adott térfogatú téglatestek közül melyiknek a legkisebb a felszíne, tehát milyen legyen a téglatest a, b és c éle, hogy eleget tegyen a

V = a ⋅ b ⋅ c = c o n s t . {\displaystyle V=a\cdot b\cdot c=const.\,}
A = 2 a b + 2 a c + 2 b c = m i n . {\displaystyle A=2ab+2ac+2bc=min.\,}

feltételnek?

Az első egyenletből a=V/(bc). Ezt a felszín képletébe írva a következő kétváltozós függvényt kapjuk:

A ( b , c ) = 2 V b + 2 b c + 2 V c {\displaystyle A(b,c)=2{\frac {V}{b}}+2bc+2{\frac {V}{c}}}

Ennek kell megkeresni a minimumát, mely ha elképzeljük a kétváltozós függvényt, akkor olyan pont, ahol a felülethez rajzolt érintősík „vízszintes”. Ez viszont pont akkor van, amikor a parciális függvények érintői szintén mindketten „vízszintesek”, azaz ahol teljesül: ∂bA = 0 és ∂cA = 0, tehát:

∂ A ∂ b = − 2 V b 2 + 2 c = 0 {\displaystyle {\frac {\partial A}{\partial b}}={\frac {-2V}{b^{2}}}+2c=0} és
∂ A ∂ c = − 2 V c 2 + 2 b = 0 {\displaystyle {\frac {\partial A}{\partial c}}={\frac {-2V}{c^{2}}}+2b=0}

ahonnan V = b2c = bc2, vagyis c = b és V = b3, ez viszont azt jelenti, hogy a = b = c, azaz a keresett test a V térfogatú kocka.

Kapcsolat a teljes differenciállal

Ha egy f:Rn ↦ {\displaystyle \mapsto } R függvény totálisan differenciálható az értelmezési tartománya egy u pontjában, akkor abban a pontban minden parciális deriváltja létezik. Ez ugyan megfordítva nem teljesül, de a teljes differenciálhatóságnak egyfajta elégséges feltételét megfogalmazhatjuk. Ha az u pontban az összes parciális derivált létezik és legfeljebb egy kivételével a parciális derivált függvények folytonosak u-ban, akkor f totálisan differenciálható.

A parciális deriváltak arra is jók, hogy felírhassuk segítségükkel a differenciál leképezés mátrixát. A differenciál mátrixa a Jf(u)ik=∂kfi(u) Jacobi-mátrix lesz, ahol fi függvény az f:Rm ↦ {\displaystyle \mapsto } Rn függvény i-edik komponensfüggvénye.

Források

  • A parciális derivált
  • A parciális derivált a MathWorld-ön
  • A parciális derivált a fizikában Archiválva 2011. június 8-i dátummal a Wayback Machine-ben
  • Matematika Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap