Pascal-tétel

A kúpszeletbe írt ABCDEF hatszög szemben fekvő oldalai a Pascal-egyenesen metszik egymást. A Pascal-egyenes fehér.

A Blaise Pascalról elnevezett Pascal-tétel klasszikus tétel a projektív síkgeometriában.

Legyenek a kúpszeletbe írt hatszög csúcsai 1, 2, 3, 4, 5, 6 (a csúcsok a kúpszeletre illeszkednek). Ekkor az

A = 12 ∩ 45 {\displaystyle A=12\cap 45}
B = 23 ∩ 56 {\displaystyle B=23\cap 56}
C = 34 ∩ 61 {\displaystyle C=34\cap 61}

pontok egy egyenesre esnek.

Duálisa a Brianchon-tétel.

A Brianchon-tétel és a Pascal-tétel alkalmazásaként lehetséges kúpszelethez pontokat és érintőket csak vonalzóval szerkeszteni.[1]

Bizonyítás

A tétel bizonyítása a kettősviszony és a sugársorok képződményének felhasználásával történik.

Jelölje X a 23 ∩ 45 {\displaystyle 23\cap 45} és Y a 34 ∩ 56 {\displaystyle 34\cap 56} pontot. Tekintsük a kúpszeletet a 2-re és a 6-ra illeszkedő sugársorok projektív képződményének. Ekkor

c r ( C , Y , 4 , 3 ) = c r ( 61 , 65 , 64 , 63 ) = c r ( 21 , 25 , 24 , 23 ) = c r ( A , 5 , 4 , X ) {\displaystyle \mathrm {cr} (C,Y,4,3)=\mathrm {cr} (61,65,64,63)=\mathrm {cr} (21,25,24,23)=\mathrm {cr} (A,5,4,X)}

Homogén koordinátákkal tovább számolva adódik a tétel.

Jegyzetek

  1. ↑ http://ganymedes.lib.unideb.hu:8080/dea/handle/2437/184[halott link]

Források

  • H. S. M. Coxeter: Projektív geometria
  • A tétel bizonyítása
  • Matematika Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap