Sűrűségmátrix

A sűrűségmátrix kevert kvantumállapotok leírására szolgál. Neumann János vezette be 1927-ben.^[1] (Más források szerint Lev Landau és Felix Bloch is felfedezte Neumann Jánostól függetlenül.)

Tulajdonságai

Egy kvadratikus mátrix akkor és csak akkor lehet egy kvantumrendszer sűrűségmátrixa, ha

${\displaystyle {\hat {\rho }}^{+}={\hat {\rho }},}$

${\displaystyle {\hat {\rho }}\geq 0,}$

${\displaystyle \mathrm {Tr} ({\hat {\rho }})=1,}$

ahol ${\displaystyle {\hat {\rho }}^{+}}$ a ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ mátrix hermitikus konjugáltját jelöli.

Dekompozíció

Minden sűrűségmátrix felírható tiszta állapotok keverékeként

${\displaystyle {\hat {\rho }}=\sum _{k}p_{k}\vert \Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}\vert ,}$

ahol a ${\displaystyle \vert \Psi _{k}\rangle }$ állapotok páronként ortogonálisak, ${\displaystyle p_{k}\geq 0}$ és ${\displaystyle \sum _{k}p_{k}=1.}$

Várható érték és mérés

Egy hermitikus operátor ${\displaystyle {\hat {A}}}$ várható értéke megkapható a sűrűségmátrix segítségével

${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\mathrm {Tr} ({\hat {\rho }}{\hat {A}}).}$

Egy ${\displaystyle {\hat {P}}}$ projektor hatását a rendszer kvantumállapotára a

${\displaystyle {\hat {\rho }}={\frac {{\hat {P}}{\hat {\rho }}{\hat {P}}}{\mathrm {Tr} ({\hat {P}}{\hat {\rho }})}}}$

formula adja. Ez alapján, ha egy ${\displaystyle {\hat {A}}}$ hermitikus operátor felbontását

${\displaystyle {\hat {A}}=\sum _{k}a_{k}{\hat {P}}_{k}}$

adja, ahol ${\displaystyle {\hat {P}}_{k}}$ egymásra ortogonális projektorok, és az operátor mérésekor ${\displaystyle a_{n}}$ eredményt kaptunk, akkor a rendszer állapota a mérés után

${\displaystyle {\hat {\rho }}'={\frac {{\hat {P}}_{n}{\hat {\rho }}{\hat {P}}_{n}}{\mathrm {Tr} ({\hat {P}}_{n}{\hat {\rho }})}}}$

Források

Irodalom

Nagy Károly: Kvantummechanika, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000.