Wallace–Bolyai–Gerwien-tétel

Wallace–Bolyai–Gerwien-tétel azt mondja ki, hogy az egyenlő területű sokszögek átdarabolhatók egymásba. A tétel megalkotása William Wallace, Bolyai Farkas és a Paul Gerwein matematikusok nevéhez fűződik, akik egymástól függetlenül jutottak hasonló eredményre.

Bizonyítása

A bizonyítás konstruktív: nem használja a kiválasztási axiómát.

A tétel több lépésben bizonyítható.

1. Háromszög átdarabolható téglalappá. Lépései: A legnagyobb oldallal párhuzamos középvonallal egy kis háromszöget vágunk le, és ezt a középvonalra merőleges magasságvonalával vágjuk ketté. A kapott kis háromszögek a trapézt téglalappá egészítik ki.

2. Két, egyenlő alapú és egyenlő magasságú paralelogramma átdarabolható egymásba. Tegyük fel, hogy az ${\displaystyle ABCD}$ és az ${\displaystyle ABC_{1}D_{1}}$ paralelogrammák az ${\displaystyle AB}$ egyenes ugyanazon oldalán fekszenek. Feltehető, hogy az egyik nem téglalap, különben egybevágók, és kész a bizonyítás.

Ha ${\displaystyle D}$ a ${\displaystyle D_{1}C_{1}}$ szakaszon helyezkedik el, akkor az ${\displaystyle ADD_{1}}$ és a ${\displaystyle BCC_{1}}$ háromszögek egybevágók, ezért az ${\displaystyle ABC_{1}D}$ trapézt ezek segítségével lehet kiegészíteni az egyik, vagy a másik paralelogrammára.

Ha ${\displaystyle D}$ nincs a ${\displaystyle D_{1}C_{1}}$ szakaszon, akkor legyen az ${\displaystyle AD}$ és a ${\displaystyle BC_{1}}$ szakasz metszéspontja ${\displaystyle P}$. ${\displaystyle AB}$ és ${\displaystyle P}$ távolságával párhuzamosokat húzunk ${\displaystyle AB}$-hez, először ${\displaystyle P}$-n át, majd egészen addig, amíg túl nem lépjük a ${\displaystyle CD}$ egyenest. A kapott kis paralelogrammákat tovább daraboljuk egyik átlójuk behúzásával, mégpedig az ${\displaystyle ABCD}$-ben levőkét a ${\displaystyle BC_{1}}$-gyel, és az ${\displaystyle ABC_{1}D_{1}}$-ben fekvőkét az ${\displaystyle AD}$-vel párhuzamos átlójukkal. Ezzel a kis paralelogrammákat egybevágó háromszögekké vágtuk fel, az utolsó lépésben kapottakat kivéve, ahol is egy-egy, páronként egybevágó háromszög és trapéz keletkezik.

3. Minden téglalap átdarabolható olyan téglalappá, amelynek az egyik oldala adott. Az ${\displaystyle ABCD}$ téglalapot így daraboljuk át úgy, hogy egyik oldala ${\displaystyle a}$ hosszú legyen:

Ha ${\displaystyle a}$ rövidebb a téglalap kisebb oldalánál (most ez legyen ${\displaystyle BC}$), akkor a téglalapot az egyik oldalával párhuzamosan felcsíkozzuk, és a kapott kis téglalapokat egymás mellé tesszük.

Tegyük fel, hogy ${\displaystyle a}$ hosszabb a téglalap rövidebb oldalánál. Ekkor van egy ${\displaystyle C_{1}}$ és ${\displaystyle D_{1}}$ pont a ${\displaystyle CD}$ egyenesen, hogy ${\displaystyle BC_{1}=AD_{1}=a}$. Ezért az ${\displaystyle ABCD}$ és az ${\displaystyle ABC_{1}D_{1}}$ olyan paralelogrammák, amelyeknek közös az alapja, és egyenlő a magassága, így 2. szerint átdarabolhatók egymásba, tehát ${\displaystyle ABCD}$ is átdarabolható az ${\displaystyle a}$ oldalú, ${\displaystyle BC_{1}}$ alapú téglalappá, aminek a másik két csúcsa a ${\displaystyle D_{1}A}$ egyenesre esik.

4. A tétel bizonyítása. Az ${\displaystyle S_{1}}$ és az ${\displaystyle S_{2}}$ egyenlő területű sokszögeket háromszögekre vágjuk. 1. szerint ezeket a háromszögeket téglalapokká daraboljuk át, és a kapott téglalapokat 3. szerint adott ${\displaystyle a}$ oldalhosszú téglalappá. Ezeket egymás mellé helyezve két egybevágó téglalapot kapunk, amik nyilván egymásba átdarabolhatók.

Általánosítása

A kérdés általánosabban is feltehető: átdarabolható-e két, egyenlő térfogatú poliéder egymásba? Ez Hilbert harmadik problémájaként vált ismertté. Max Dehn látta be először 1900-ban, hogy ez nincs így. Például egy kocka és egy gúla nem darabolható át egymásba, még akkor sem, ha térfogatuk megegyezik.

Források

• Reiman István: Geometria és határterületei
• http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/Bolyai.shtml angolul
• Példa Bolyai Farkas tételére Kabai Sándor, Holló Szabó Ferenc, és Szilassi Lajos a The Wolfram Demonstrations Project keretében angolul