Wedderburn–Artin-tétel

A Wedderburn–Artin-tétel vagy Wedderburn–Artin-struktúratétel az Artin-gyűrűk struktúrájáról szól. Ha R Artin, és radikálja ${\displaystyle {\mathcal {J}}(R)}$, akkor az ${\displaystyle R/{\mathcal {J}}(R)}$ faktorgyűrű véges sok, ferdetest feletti mátrixgyűrű szorzata.

Speciálisan, ha R féligegyszerű, akkor R ferdetest feletti mátrixgyűrűk szorzata, és ez a felbontás lényegében egyértelmű. Ezt is szokták Wedderburn-Artin struktúratételnek nevezni.

Definíciók

Az R gyűrű Artin-gyűrű, ha ideáljainak minden végtelen hosszú csökkenő lánca stabilizálódik. Másként: nincs ideáloknak végtelen hosszú szigorúan csökkenő lánca.

Az R gyűrű Jacobson-radikálja az R-beli maximális balideálok metszete. Röviden szokták radikálnak is nevezni. Ebben éppen azok az x elemek vannak, amikre 1-rx balinvertálható minden r gyűrűelemre. Ez valójában szimmetrikus: jobbról definiálva is ugyanahhoz a radikálhoz jutunk. Az 1-xr jobbinvertálhatósága is teljesül minden r gyűrűelemre.

Egy algebra vagy gyűrű féligegyszerű, ha Jacobson-radikálja triviális, vagyis csak a nullelemből áll.

Példák

• Minden ${\displaystyle \mathbb {R} }$ fölötti véges dimenziós algebra mátrixgyűrű ${\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }$ vagy ${\displaystyle \mathbb {H} }$ fölött.
• Minden véges dimenziós ${\displaystyle \mathbb {C} }$ fölötti egyszerű algebra mátrixgyűrű ${\displaystyle \mathbb {C} }$ fölött.

Források

• Kiss Emil: Algebra
• Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK