Ampiezza di probabilità

In meccanica quantistica, l'ampiezza di probabilità è una funzione complessa il cui modulo quadro rappresenta la funzione densità di probabilità. Ad ogni particella è associata una ampiezza di probabilità che descrive la sua posizione, in accordo con il principio di indeterminazione di Heisenberg: essa coincide con la funzione d'onda in tal punto.

Per una funzione d'onda ψ {\displaystyle \psi } la funzione di densità di probabilità associata è ψ ⋅ ψ {\displaystyle \psi \cdot \psi } , che equivale a | ψ | 2 {\displaystyle \vert \psi \vert ^{2}} . Questa è talvolta definita semplicemente densità di probabilità e può essere normalizzata o non normalizzata.[1]

Descrizione

Se | ψ | 2 {\displaystyle |\psi |^{2}} possiede un integrale finito all'interno dello spazio tridimensionale, è quindi possibile scegliere una costante di normalizzazione c {\displaystyle c} tale che rimpiazzando ψ {\displaystyle \psi } con c ψ {\displaystyle c\psi } l'integrale assume valore unitario. Quindi la probabilità che una particella si trovi all'interno di una particolare regione V {\displaystyle V} dell'universo è data dall'integrale esteso in V {\displaystyle V} di | ψ | 2 {\displaystyle |\psi |^{2}} . Il che significa, secondo l'interpretazione di Copenaghen della meccanica quantistica, che se qualche osservatore prova a misurare la quantità associata a questa ampiezza di probabilità, il risultato di questa misura rientrerà all'interno di ε {\displaystyle \varepsilon } con una probabilità P ( ε ) {\displaystyle P(\varepsilon )} data da:

P ( ε ) = ∫ ε | ψ ( x ) | 2 d x . {\displaystyle P(\varepsilon )=\int _{\varepsilon }^{}|\psi (x)|^{2}\,dx.}

Ampiezze di probabilità che non sono quadrati integrabili sono solitamente assunte come il limite di una serie di funzioni che sono a quadrato integrabile. Il cambiamento della probabilità in funzione del tempo viene espresso in termini di ψ {\displaystyle \psi } stesso, non in termini di funzione di probabilità | ψ 2 | {\displaystyle |\psi ^{2}|} . A tal proposito si rimanda all'equazione di Schrödinger.

Variazione nel tempo

Lo stesso argomento in dettaglio: Corrente di probabilità.

Per descrivere il cambiamento nel tempo della densità di probabilità occorre definire la corrente di probabilità (o flusso di probabilità) j:

j = ℏ m ⋅ 1 2 i ( ψ ∗ ∇ ψ − ψ ∇ ψ ∗ ) = ℏ m Im ⁡ ( ψ ∗ ∇ ψ ) = R e ( ψ ∗ ℏ i m ∇ ψ ) {\displaystyle \mathbf {j} ={\hbar \over m}\cdot {1 \over {2i}}\left(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*}\right)={\hbar \over m}\operatorname {Im} \left(\psi ^{*}\nabla \psi \right)=\mathrm {Re} \left(\psi ^{*}{\frac {\hbar }{im}}\nabla \psi \right)}

e misurato in unità (probabilità)/(area × tempo) = r − 2 {\displaystyle r^{-2}} t − 1 {\displaystyle t^{-1}} .

Il flusso di probabilità soddisfa una equazione di continuità quantistica, ad esempio:

∇ ⋅ j + ∂ ∂ t P ( x → , t ) = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} +{\partial \over \partial t}P({\vec {x}},t)=0}

dove P ( x , t ) {\displaystyle P(x,t)} è la funzione densità di probabilità ed è misurata in unità (probabilità)/(volume) = r − 3 {\displaystyle r^{-3}} . Questa equazione è l'equivalente matematico della legge di conservazione della probabilità.

Per un'onda piana si dimostra facilmente che

⟨ x | ψ ⟩ = A exp ⁡ ( i k x − i ω t ) {\displaystyle \langle x|\psi \rangle =A\exp {\left(ikx-i\omega t\right)}}

con flusso di probabilità dato da

j ( x , t ) = | A | 2 k ℏ m . {\displaystyle j(x,t)=|A|^{2}{k\hbar \over m}.}

Note

  1. ^ Kenichi Konishi, Meccanica quantistica : nuova introduzione, Pisa University Press, 2012, ISBN 978-88-6741-038-5, OCLC 898728274. URL consultato il 22 giugno 2021.
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