Assioma dell'insieme potenza

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In matematica, l'assioma dell'insieme potenza è uno degli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel.

Nel linguaggio formale degli assiomi di Zermelo-Fraenkel, l'assioma si scrive:

${\displaystyle \forall A,\exists \;{{\mathcal {P}}(A)},\forall B:B\in {{\mathcal {P}}(A)}\iff (\forall C:C\in B\implies C\in A)}$

Oppure a parole:

Dato un generico insieme A, esiste un insieme ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ tale che, dato un generico insieme B, B è un elemento di ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ se e solo se B è un sottoinsieme di A.

Per l'assioma di estensionalità questo insieme è unico. Chiamiamo l'insieme ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ insieme potenza di A. Quindi l'essenza dell'assioma è:

Ad ogni insieme corrisponde un insieme potenza.

L'assioma dell'insieme potenza è generalmente considerato non controverso, e appare in questa forma o in una forma equivalente in quasi tutte le assiomatizzazioni alternative della teoria degli insiemi.

Conseguenze

L'assioma dell'insieme potenza permette la definizione del prodotto cartesiano di due insiemi ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$:

${\displaystyle X\times Y=\{(x,y):x\in X\land y\in Y\}.}$

Il prodotto cartesiano è un insieme dal momento che

${\displaystyle X\times Y\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y)).}$

Si può definire il prodotto cartesiano di ogni collezione finita di insiemi ricorsivamente:

${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}=(X_{1}\times \cdots \times X_{n-1})\times X_{n}.}$

Collegamenti esterni

• (EN) axiom of power set, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Assioma dell'insieme potenza, su MathWorld, Wolfram Research.

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