Assioma di Dedekind

In matematica, l'assioma di Dedekind, detto anche assioma di continuità oppure assioma di completezza, riguarda l'insieme dei numeri reali R; esso afferma che ogni insieme S di numeri reali che non sia vuoto e che sia limitato superiormente possiede un estremo superiore in R, vale a dire un numero reale uguale o maggiore di tutti gli elementi di S e tale che non esista nessun reale più piccolo con tale proprietà.

Se ad esempio l'insieme S considerato è quello dei numeri il cui quadrato è inferiore a 2 (in simboli, l'insieme ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x^{2}<2\}}$), l'estremo superiore è ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. L'assioma si può enunciare anche per ogni sottoinsieme di R che sia non vuoto e inferiormente limitato: in questo caso si garantisce che l'insieme abbia un estremo inferiore.

Questo assioma è molto utile perché è essenziale per dimostrare che la retta reale è uno spazio metrico completo. L'insieme dei numeri razionali non soddisfa questo assioma, e perciò non è completo: per l'insieme S definito precedentemente non esiste un estremo superiore appartenente a Q.

Assioma di completezza e continuità della retta

Una formulazione alternativa dell'assioma di Dedekind, nota sotto il nome di assioma di completezza, è la seguente.

L'assioma di Dedekind (o di completezza) permette di porre in corrispondenza biunivoca i punti di una retta con gli elementi dell'insieme R.

Completezza dei numeri reali

Usando l'assioma di Dedekind si può dimostrare che i numeri reali formano uno spazio completo: in altre parole, che ogni successione di Cauchy è convergente.

Dimostrazione

Sia ${\displaystyle \{s_{n}\}}$ una successione di Cauchy. Sia ${\displaystyle S}$ l'insieme dei numeri reali che sono maggiori di ${\displaystyle s_{n}}$ solo per un numero finito di valori di ${\displaystyle n}$. Poiché ogni successione di Cauchy è limitata, ${\displaystyle S}$ è non vuoto e superiormente limitato ed ammette quindi, per l'assioma di Dedekind, un estremo superiore ${\displaystyle s}$. Mostriamo che effettivamente la successione ${\displaystyle s_{n}}$ tende a ${\displaystyle s}$.

Per ogni ${\displaystyle \varepsilon }$, esiste un ${\displaystyle N}$ tale che ${\displaystyle |s_{n}-s_{m}|<\varepsilon }$ per ogni ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle m}$ maggiore o uguale a ${\displaystyle N}$. Allora la successione assume infinite volte valori all'interno dell'intervallo ${\displaystyle (s_{N}-\varepsilon ,s_{N}+\varepsilon )}$ e un numero finito di volte nel suo complementare. Quindi ${\displaystyle s_{N}-\varepsilon }$ è un elemento di ${\displaystyle S}$ e ${\displaystyle s_{N}+\varepsilon }$ è maggiore di ogni elemento di ${\displaystyle S}$, e quindi è maggiore o uguale ad ${\displaystyle s}$.

Quindi ${\displaystyle s}$ è contenuto nell'intervallo ${\displaystyle (s_{N}-\varepsilon ,s_{N}+\varepsilon )}$, e per la disuguaglianza triangolare risulta che

${\displaystyle d(s_{n},s)\leq d(s_{n},s_{N})+d(s_{N},s)\leq \varepsilon +\varepsilon =2\varepsilon }$.

Quindi ${\displaystyle s_{n}\to s}$ e la successione converge. Q.E.D.

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