Circuito booleano

Un circuito booleano è un modello matematico di computazione usato nello studio della teoria della complessità computazionale. Questi circuiti sono principalmente oggetto di studi nella complessità dei circuiti e sono dei tipi speciali di circuiti; un linguaggio formale può essere deciso da una famiglia di circuiti booleani, un circuito per ogni possibile lunghezza di input. In aggiunta, essi sono usati come modello formale per logica combinatoria in elettronica digitale.

I circuiti booleani sono definiti in termini di porte che essi contengono. Ad esempio, un circuito potrebbe contenere porte AND e OR binarie e porte NOT unarie, o essere interamente descritti da porte NAND binarie. Ogni porta corrisponde a qualche funzione booleana che prende k bit di input e invia in output un singolo bit.

Definizione formale

Nel dare una definizione formale di circuiti booleani, Vollmer comincia definendo un insieme base di funzioni booleane B, corrispondenti alle porte accettabili nel modello del circuito. Un circuito booleano su una base B, con n input e m output, è definita come un grafo aciclico diretto finito. Ogni vertice corrisponde o ad una funzione base o ad un input, e c'è un set di esattamente m nodi che sono etichettati come output.^[1] Gli archi devono anche essere in qualche modo ordinati, per distinguere tra differenti argomenti per la stessa funzione booleana.^[2]

Complessità computazionale

Valutazione di un circuito

Il problema CIRCUIT-EVAL prende come input la descrizione di un circuito booleano e un'assegnazione di valore di verità alle variabili del circuito, e accetta il test solo se il circuito restituisce vero. CIRCUIT-EVAL è P-completo.^[3]

Misure di complessità

Lo stesso argomento in dettaglio: Complessità dei circuiti.

Varie importanti misure di complessità possono essere definite sui circuiti booleani, comprese la profondità del circuito, la dimensione del circuito e il numero di alternanze tra porte AND e porte OR. Per esempio, la complessità di dimensione di un circuito booleano è il numero delle porte.

Classi di complessità

Voce principale: Classi di complessità dei circuiti.

Varie importanti classi di complessità sono definite in termini di circuiti booleani, compreso NC. NC è definito come l'insieme delle funzioni booleane che possono essere decise da circuiti booleani uniformi di dimensione polinomiale e profondità polilogaritmica. Qui, la parola uniforme significa che ci deve essere una qualche condizione sulla famiglia di circuiti in modo che la descrizione di un circuito possa essere computata soltanto dal numero degli input al circuito.

Note

^ Vollmer 1999, p. 8.
^ Vollmer 1999, p. 9.
^ Arora & Barak 2009, p. 119.

Bibliografia

Heribert Vollmer, Introduction to Circuit Complexity, Berlino, Springer, 1999, ISBN 3-540-64310-9.
Sanjeev Arora e Boaz Barak, Computational Complexity: A Modern Approach, New York, Cambridge University Press, 2009, ISBN 0-521-42426-7.