Connessione di Levi Civita

In geometria differenziale, la connessione di Levi-Civita è, su una varietà riemanniana, l'unica connessione senza torsione che preserva la metrica. Il suo nome è dovuto a Tullio Levi-Civita[1].

Grazie alla connessione di Levi-Civita, il tensore metrico della varietà riemanniana risulta essere quindi ingrediente sufficiente per definire univocamente concetti più elaborati come derivata covariante, geodetica, trasporto parallelo.

Definizione

Sia ( M ; g ) {\displaystyle (M;g)} una varietà riemanniana. Una connessione ∇ {\displaystyle \nabla } è di Levi-Civita se valgono le proprietà seguenti[2]:

  • non ha torsione, ossia, si ha: ∇ X Y − ∇ Y X = [ X , Y ] {\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]}
  • preserva la metrica, cioè:
∇ X ( g ( Y , Z ) ) = g ( ∇ X Y , Z ) + g ( Y , ∇ X Z ) . {\displaystyle \nabla _{X}(g(Y,Z))=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)\,.}

Ovvero, equivalentemente

∇ X g = 0 . {\displaystyle \nabla _{X}g=0\,.}

Entrambe le proprietà possono essere espresse usando la notazione con indici. Una connessione è di Levi-Civita se in ogni carta valgono le proprietà seguenti:

  • i simboli di Christoffel sono simmetrici negli indici in basso, cioè:
Γ i j k = Γ j i k {\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}=\Gamma _{ji}^{k}}
  • la derivata covariante del tensore metrico è nulla, cioè:
∇ k g i j = 0 . {\displaystyle \nabla _{k}g_{ij}=0\,.}

Proprietà

Esistenza e unicità

Il seguente fatto è un risultato fondamentale della geometria riemanniana.

Una varietà riemanniana o pseudo-riemanniana ha un'unica connessione di Levi-Civita.

La dimostrazione di questo fatto può essere svolta nel modo seguente. I simboli di Christoffel definiscono il termine da aggiungere in una carta alla usuale derivata parziale per ottenere la derivata covariante. Per ogni connessione e in ogni carta vale quindi la relazione

∇ k g i j = ∂ k g i j − Γ k j h g h i − Γ i k h g j h . {\displaystyle \nabla _{k}g_{ij}=\partial _{k}g_{ij}-\Gamma _{kj}^{h}g_{hi}-\Gamma _{ik}^{h}g_{jh}.}

Supponiamo che la connessione sia di Levi-Civita. Questa quantità è quindi zero, perché si richiede che la derivata covariante della metrica sia nulla. Permutando i tre indici i , j , k {\displaystyle i,j,k} in modo ciclico si ottengono tre uguaglianze. Sottraendo le ultime due uguaglianze dalla prima, e usando la simmetria dei simboli di Christoffel (la torsione è nulla) si ottiene:

∂ i g j k − ∂ j g k i − ∂ k g i j + 2 Γ j k h g h i = 0. {\displaystyle \partial _{i}g_{jk}-\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}+2\Gamma _{jk}^{h}g_{hi}=0.}

Il simbolo di Christoffel può essere esplicitato moltiplicando questa relazione per g l i {\displaystyle g^{li}} . Il risultato è

Γ j k l = 1 2 g l i ( ∂ j g k i + ∂ k g i j − ∂ i g j k ) . {\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}={\frac {1}{2}}g^{li}(\partial _{j}g_{ki}+\partial _{k}g_{ij}-\partial _{i}g_{jk}).}

Questo dimostra l'unicità della connessione. D'altra parte, questa uguaglianza può essere usata per definire una connessione di Levi-Civita: è sufficiente verificare che una tale definizione fornisca effettivamente una connessione, e cioè che i simboli Γ j k l {\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}} così definiti cambino al mutare delle coordinate come i simboli di Christoffel.

Innalzamento e abbassamento degli indici

Una connessione di Levi-Civita ha delle buone proprietà rispetto all'operazione di innalzamento e abbassamento degli indici, effettuata tramite contrazione con il tensore metrico o il suo inverso. Innanzitutto, anche il tensore metrico inverso ha derivata covariante nulla:

∇ k g i j = 0. {\displaystyle \nabla _{k}g^{ij}=0.}

Perciò la derivata covariante commuta con l'innalzamento o abbassamento degli indici. Ad esempio, se V i {\displaystyle V^{i}} è un campo vettoriale:

∇ k ( g i j V j ) = ( ∇ k g i j ) V j + g i j ( ∇ k V j ) = g i j ( ∇ k V j ) . {\displaystyle \nabla _{k}(g_{ij}V^{j})=(\nabla _{k}g_{ij})V^{j}+g_{ij}(\nabla _{k}V^{j})=g_{ij}(\nabla _{k}V^{j}).}

Note

  1. ^ Tullio Levi-Civita, Nozione di parallelismo in una varietà qualunque, in Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 42, 1917, pp. 173–205, DOI:10.1007/BF03014898, JFM 46.1125.02.
  2. ^ G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lezioni di geometria differenziale, Torino, Bollati Boringhieri, 1995, p. 146.

Bibliografia

  • (EN) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry, 1994.
  • (EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (Nuova edizione), ISBN 0-471-15733-3.
  • G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lezioni di geometria differenziale, Torino, Bollati Boringhieri, 1995, ISBN 978-88-339-5556-8.
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