Costante di Gel'fond

Costante di Gel'fond
Simbolo e π {\displaystyle e^{\pi }}
Valore23,1406926327792690057290...
(sequenza A039661 dell'OEIS)
Origine del nomeAleksandr Osipovič Gel'fond
Frazione continua[23; 7, 9, 3, 1, 1, 591, 2, 9, 1, ...]
(sequenza A058287 dell'OEIS)
Insiemenumeri trascendenti
Costanti correlatePi greco, e

La costante di Gel'fond è un numero trascendente il cui valore è e elevato alla π,

e π = 23 , 1406926327... {\displaystyle e^{\pi }=23,1406926327...}

Prende il nome dal matematico Aleksandr Osipovič Gel'fond, che nel 1934 ne provò la trascendenza come conseguenza del suo teorema di Gel'fond.

Il suo sviluppo in frazione continua è

[ 23 , 7 , 9 , 3 , 1 , 1 , 591 , 2 , 9 , 1 , 2 , 34 , 1 , 16 , 1 , 30 , 1 , 1 , 4 , 1 , 2 , 108 , ⋯ ] . {\displaystyle [23,7,9,3,1,1,591,2,9,1,2,34,1,16,1,30,1,1,4,1,2,108,\cdots ].}

Dimostrazione della trascendenza

Dalla formula di Eulero si può ricavare che:

e i π 2 = i . {\displaystyle e^{i{\frac {\pi }{2}}}=i.}

Elevando entrambi i membri alla i, avremo, ricordando che i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} :

i i = e − π 2 , {\displaystyle i^{i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}},}

cioè

e π = 1 i 2 i = i − 2 i ; {\displaystyle e^{\pi }={\frac {1}{i^{2i}}}=i^{-2i};}

i e -2i sono entrambi numeri algebrici non razionali, e quindi per il teorema di Gel'fond e π {\displaystyle e^{\pi }} non può essere algebrico.

Calcolo

Il valore della costante di Gel'fond può essere calcolato rapidamente usando la seguente sequenza:

k 0 = 1 2 = 2 2 , {\displaystyle k_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}},}
k n = 1 − 1 − k n − 1 2 1 + 1 − k n − 1 2 . {\displaystyle k_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}}.}

L'espressione

( 4 / k n ) 2 1 − n {\displaystyle (4/k_{n})^{2^{1-n}}}

converge allora rapidamente ad e π {\displaystyle e^{\pi }}

Proprietà geometriche

Il volume di una sfera di dimensione n (un'ipersfera) è dato da

V n = π n 2 R n Γ ( n 2 + 1 ) , {\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}},}

dove Γ {\displaystyle \Gamma } è la funzione gamma. Di conseguenza, se si considerano solo le ipersfere di raggio unitario e dimensione pari, si ha che:

V 2 n = π n n ! , {\displaystyle V_{2n}={\frac {\pi ^{n}}{n!}},}

ricordando che Γ ( n + 1 ) = n ! {\displaystyle \Gamma (n+1)=n!} per n intero. Di conseguenza, sommando questi valori, si ha

∑ n = 0 ∞ V 2 n = ∑ n = 0 ∞ π n n ! = e π , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }V_{2n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\pi ^{n}}{n!}}=e^{\pi },}

perché il secondo membro è lo sviluppo in serie di Taylor dell'esponenziale.

Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Costante di Gel'fond, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
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