Criterio di Weierstrass

In analisi matematica, il criterio di Weierstrass, conosciuto anche come M-test, è un importante risultato riguardante la convergenza totale (e di conseguenza la convergenza uniforme) di serie di funzioni di variabile complessa o reale.

Il criterio

Sia ${\displaystyle f_{n}:A\subseteq \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ una successione di funzioni a valori complessi. Se per ogni ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ esiste ${\displaystyle M_{n}\geq 0}$ tale che:

${\displaystyle |f_{n}(z)|\leq M_{n},\qquad \forall z\in A}$

e si ha:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }M_{n}<+\infty ,}$

allora la serie:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }f_{n}(z)}$

converge totalmente e uniformemente in ${\displaystyle A}$.

Questo risultato è spesso utilizzato insieme al teorema del limite uniforme, il quale afferma che il limite (relativo alla convergenza uniforme) di ogni successione di funzioni continue è continuo. Insieme, i due enunciati stabiliscono che se, in aggiunta alle condizioni precedenti, ${\displaystyle A}$ è uno spazio topologico e le funzioni ${\displaystyle f_{n}}$ sono continue su ${\displaystyle A}$, allora la serie converge ad una funzione continua.

Generalizzazione

Se il codominio di ${\displaystyle f_{n}}$ è uno spazio di Banach si ottiene una generalizzazione del teorema, in cui la disuguaglianza:

${\displaystyle |f_{n}(z)|\leq M_{n}}$

può essere rimpiazzata da:

${\displaystyle \|f_{n}(z)\|\leq M_{n}}$

dove ${\displaystyle \|\cdot \|}$ è la norma sullo spazio di Banach.

Dimostrazione

Sia ${\displaystyle S_{n}(z)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(z)}$. Presi ${\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }$ con ${\displaystyle m>n}$, date le ipotesi del teorema si ha:

${\displaystyle |S_{m}(z)-S_{n}(z)|=|\sum _{k=n+1}^{k=m}f_{k}(z)|\leq \sum _{k=n+1}^{k=m}|f_{k}(z)|\leq \sum _{k=n+1}^{k=m}M_{k}\qquad \forall z\in A}$

La serie a termini non-negativi ${\displaystyle \sum _{k=1}^{+\infty }M_{k}}$ converge, quindi per ogni ${\displaystyle \epsilon >0}$ esiste ${\displaystyle n_{0}}$ tale che per ogni ${\displaystyle n>n_{0}}$ si verifica:

${\displaystyle \sum _{k=n}^{k=+\infty }M_{k}<\epsilon }$

Scegliendo ${\displaystyle n}$ e ${\displaystyle m}$ sufficientemente grandi si ha quindi:

${\displaystyle |S_{m}(z)-S_{n}(z)|\leq \sum _{k=n+1}^{k=m}M_{k}\leq \sum _{k=n}^{k=+\infty }M_{k}<\epsilon \qquad \forall z\in A}$

Per ogni ${\displaystyle z}$ la successione ${\displaystyle S_{n}(z)}$ è di Cauchy nello spazio metrico completo ${\displaystyle \mathbb {C} }$, pertanto converge a ${\displaystyle l_{z}}$. Definendo la funzione ${\displaystyle S(z)=l_{z}}$ e facendo tendere ${\displaystyle m}$ a ${\displaystyle +\infty }$ nella precedente relazione si ha:

${\displaystyle |S(z)-S_{n}(z)|\leq \sum _{k=n+1}^{k=+\infty }M_{k}<\epsilon \ \qquad \forall z\in A\quad \forall n>n_{0}}$

ovvero ${\displaystyle S_{n}(z)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(z)}$ converge uniformemente a ${\displaystyle S(z)}$.

Bibliografia

• (EN) Walter Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill Science/Engineering/Math, gennaio 1991, ISBN 0-07-054236-8.
• (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill Science/Engineering/Math, maggio 1986, ISBN 0-07-054234-1.
• (EN) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill Science/Engineering/Math, 1976.
• (EN) E. T. Whittaker; G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition. Cambridge University Press, 1927.

Voci correlate

• Serie di funzioni
• Successione di funzioni

Collegamenti esterni

• (EN) Weierstrass M-test, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Criterio di Weierstrass, su MathWorld, Wolfram Research.

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