Curvatura scalare

In geometria differenziale la curvatura scalare (o scalare di Ricci) è il più semplice invariante di curvatura di una varietà riemanniana. Ad ogni punto della varietà essa associa un numero reale determinato dalla geometria intrinseca della varietà intorno a quel punto. La curvatura scalare è definita a partire dal tensore di curvatura di Ricci, che è a sua volta definito a partire dal tensore di Riemann.

Definizione

Sia $M$ una varietà riemanniana o varietà pseudo-riemanniana. La curvatura scalare è una funzione differenziabile che associa ad ogni punto di $M$ un numero reale, definito contraendo i due indici del tensore di curvatura di Ricci nel modo seguente:

$R=g^{ij}R_{ij}.$

Il tensore di curvatura di Ricci è un tensore di tipo $(0,2)$ , ovvero una forma bilineare. La curvatura scalare è la traccia di questa forma bilineare. Per calcolare la traccia è necessario fare uso del tensore metrico $g$ , presente nella formula.

La curvatura scalare è un tensore di tipo $(0,0)$ , ovvero una funzione.

Proprietà

Simboli di Christoffel

In un sistema di coordinate, la curvatura scalare dipende dai simboli di Christoffel e dalle loro derivate parziali nel modo seguente:

R=g^{ab}\left({\frac {\partial \Gamma _{ab}^{c}}{\partial x_{c}}}-{\frac {\partial \Gamma _{ac}^{c}}{\partial x_{b}}}+\Gamma _{ab}^{c}\Gamma _{cd}^{d}-\Gamma _{ac}^{d}\Gamma _{bd}^{c}\right)

Volume

La curvatura scalare può essere interpretata geometricamente come un numero che misura il modo in cui è distorto il volume intorno ad un punto.

Quando la curvatura scalare in un punto è positiva, il volume di una piccola palla centrata nel punto $p$ della varietà riemanniana $M$ ha volume minore di una palla dello stesso raggio nello spazio euclideo. D'altra parte, se la curvatura scalare è negativa, la palla ha volume maggiore. Da un punto di vista quantitativo, questa relazione può essere espressa come segue. Il rapporto fra i volumi di una palla di raggio $\varepsilon$ è dato da

{\frac {\operatorname {Vol} (B_{\varepsilon }(p)\subset M)}{\operatorname {Vol} (B_{\varepsilon }(0)\subset {\mathbb {R} }^{n})}}=1-{\frac {R}{6(n+2)}}\varepsilon ^{2}+O(\varepsilon ^{4})

La derivata seconda di questo rapporto, valutata in $\varepsilon =0$ , è esattamente

-{\frac {R}{3(n+2)}}.

Analogamente, i bordi di queste palle sono delle $(n-1)$ -sfere, le cui aree soddisfano la relazione seguente:

{\frac {\operatorname {Area} (\partial B_{\varepsilon }(p)\subset M)}{\operatorname {Area} (\partial B_{\varepsilon }(0)\subset {\mathbb {R} }^{n})}}=1-{\frac {R}{6n}}\varepsilon ^{2}+O(\varepsilon ^{4})

Oggetto riemanniano

A differenza del tensore di Riemann e del tensore di Ricci, la curvatura scalare necessita fortemente del tensore metrico $g$ per essere definita. Non esiste quindi una definizione di curvatura scalare nel contesto più ampio delle connessioni.

Esempi

Superficie

In una superficie la curvatura scalare è pari alla curvatura gaussiana $K$ moltiplicata per due:

R=2K.

Sfera

La curvatura scalare di una ipersfera $S^{n}$ di raggio $r$ è costante in ogni punto, ed è pari a

{\frac {n(n-1)}{r^{2}}}.

Bibliografia

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