Definizioni della funzione esponenziale

Nella matematica, la funzione esponenziale (fra le infinite funzioni esponenziali di base ${\displaystyle a}$ positiva diversa da 1 s'intenderà nel seguito quella "naturale" ossia con base ${\displaystyle e=2,718281\ldots }$) può essere caratterizzata in vari modi. Le seguenti definizioni sono le più comuni. Questo articolo discute il motivo per cui ogni caratterizzazione ha senso, e del perché ogni definizione implica l'altra. Come caso speciale di queste considerazioni, si vedrà che le tre definizioni più comuni della costante matematica e sono anche equivalenti tra di loro.

Le sei più comuni definizione della funzione esponenziale ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$ con ${\displaystyle x}$ reale sono:

1. Si definisce ${\displaystyle e^{x}}$ come il limite

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

2. Si definisce ${\displaystyle e^{x}}$ come il valore della serie

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots }$

(Con ${\displaystyle n!}$ si indica il fattoriale di ${\displaystyle n}$. Una dimostrazione che e è irrazionale utilizza questa rappresentazione.)

3. Si definisce ${\displaystyle e^{x}}$ come l'unico numero ${\displaystyle y>0}$ tale che

${\displaystyle \int _{1}^{y}{\frac {dt}{t}}=x.}$

Ne deriva che è l'inversa della funzione logaritmo naturale, che è definita da questo integrale.

4. Si definisce ${\displaystyle e^{x}}$ come l'unica soluzione del problema di Cauchy

${\displaystyle y'=y,\quad y(0)=1.}$

(${\displaystyle y'}$ denota la derivata di ${\displaystyle y}$.)

5. La funzione esponenziale ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ è l'unica funzione misurabile secondo Lebesgue con ${\displaystyle f(1)=e}$ che soddisfa

${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y){\text{ per ogni }}x{\text{ e }}y}$

(Hewitt and Stromberg, 1965, esercizio 18.46). Alternativamente, è l’unica funzione continua "da qualche parte" con queste proprietà (Rudin, 1976, capitolo 8, esercizio 6). Il termine "continua da qualche parte" significa esiste almeno un punto ${\displaystyle x}$ in cui ${\displaystyle f(x)}$ è continua. Come mostrato sotto, se ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$ per ogni ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ e inoltre ${\displaystyle f(x)}$ è continua in un punto ${\displaystyle x}$ allora ${\displaystyle f(x)}$ è necessariamente continua ovunque.

(Come controesempio, se non la continuità o la misurabilità, è possibile dimostrare l'esistenza di una funzione non misurabile e discontinua ovunque con questa proprietà usando una base di Hamel per i numeri reali sul campo dei razionali, come descritto da Hewitt e Stromberg.)

Poiché ${\displaystyle f(x)=e}$ per ${\displaystyle x}$ razionali per la proprietà precedente (vedere sotto), si potrebbe anche usare la monotonicità o altre proprietà per rinforzare la scelta di ${\displaystyle e^{x}}$ per numeri irrazionali, ma tali alternative si rivelano insolite.

Si possono anche sostituire le condizioni che ${\displaystyle f(1)=e}$ e che ${\displaystyle f}$ sia una funzione misurabile secondo Lebesgue o continua da qualche parte con la singola proprietà ${\displaystyle f'(0)=1}$. Questa condizione, insieme a ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$, implicano facilmente entrambe le condizioni nella quarta caratterizzazione. Infatti, si ha la condizione iniziale ${\displaystyle f(0)=1}$ dividendo entrambi membri dell'equazione

${\displaystyle f(0)=f(0+0)=f(0)f(0)}$

per ${\displaystyle f(0)}$, e ${\displaystyle f'(x)=f(x)}$ deriva da ${\displaystyle f'(0)=1}$ e la definizione della derivata come segue:

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x)f(h)-f(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}f(x){\frac {f(h)-1}{h}}\\&=f(x)\lim _{h\to 0}{\frac {f(h)-1}{h}}\\&=f(x)\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0)}{h}}\\&=f(x)f'(0)=f(x).\end{aligned}}}$

6. Sia ${\displaystyle e}$ l'unico numeri reale che soddisfa

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=1.}$

Si può mostrare che questo limite esiste. Questa definizione è particolarmente adatta per calcolare la derivata della funzione esponenziale. Si definisce quindi ${\displaystyle e^{x}}$ la funzione esponenziale con questa base.

Un modo di descrivere la funzione esponenziale su domini più grandi dei numeri reali è di definirla prima in ${\displaystyle \mathbb {(} R)}$ usando una delle precedenti caratterizzazioni e dopo estenderla in un modo che vada bene per ogni funzione analitica.

È possibile anche usare la caratterizzazione direttamente sul dominio più grande, sebbene potrebbero comparire alcuni problemi. (1), (2), e (4) hanno tutte senso per una arbitraria algebra di Banach. (3) presenta dei problema per i numeri complessi, perché ci sono percorsi d'integrazione che non sono equivalenti, e (5) non è sufficiente. Per esempio, la funzione ${\displaystyle f}$ definita (per ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ reali) come

${\displaystyle f(x+iy)=e^{x}(\cos(2y)+i\sin(2y))=e^{x+2iy}}$

soddisfa la condizione nella (5) senza essere la funzione esponenziale di ${\displaystyle x+iy}$. Per rendere (5) sufficiente per il dominio dei numeri complessi, si dovrebbe assumere che esista un punto in cui ${\displaystyle f}$ sia una mappa conforme o altrimenti aggiungere la condizione

${\displaystyle f(i)=\cos(1)+i\sin(1).}$

In particolare, la condizione alternativa nella (5) che ${\displaystyle f'(0)=1}$ è sufficiente dal momento che implicitamente assume che ${\displaystyle f}$ sia conforme.

Qualcuna di queste definizioni richiedono delle giustificazioni per dimostrare che sono ben definite. Per esempio, quando il valore della funzione è definito come il risultato di un limite (di una successione o di una serie), si deve provare che tale limite esiste.

Poiché

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {x^{n+1}/(n+1)!}{x^{n}/n!}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {x}{n+1}}\right|=0<1.}$

segue dal criterio del rapporto che ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$ converge per ogni ${\displaystyle x}$.

Dal momento che l'integrando è una funzione integrabile di ${\displaystyle t}$, l'espressione è ben definita. Ora si deve mostrare che la funzione da ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ a ${\displaystyle \mathbb {R} }$ definita come

${\displaystyle \int _{1}^{(\cdot )}{\frac {dt}{t}}}$

è biettiva. Siccome ${\displaystyle t^{-1}}$ è positivo per ${\displaystyle t>0}$, questa funzione è monotona crescente, quindi iniettiva. Se inoltre valgono i due integrali

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dt}{t}}=+\infty ,\quad \int _{1}^{0}{\frac {dt}{t}}=-\infty ,}$

allora è chiaramente anche suriettiva. Infatti, nel caso in esame questi integrali valgono nel nostro caso, come si deduce dal criterio dell'integrale e dalla divergenza della serie armonica.

Le seguenti dimostrazioni dimostrano l'equivalenza delle tre caratterizzazioni date precedentemente per ${\displaystyle e}$. La dimostrazione consiste di due parti. Prima, si stabilisce l'equivalenza delle definizioni 1 e 2 e successivamente l'equivalenza fra 1 e 3.

I seguenti ragionamenti sono adattati da una dimostrazione in Rudin, teorema 3.31, p. 63–-5.

Sia ${\displaystyle x\geq 0}$ un fissato numero reale non negativo. Si definisce

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{k}}{k!}},\ t_{n}=\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

Per il teorema binomiale,

${\displaystyle {\begin{aligned}t_{n}&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {x^{k}}{n^{k}}}=1+x+\sum _{k=2}^{n}{\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-(k-1))x^{k}}{k!\,n^{k}}}\\[8pt]&=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)+{\frac {x^{3}}{3!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{n}}\right)\leq s_{n}\end{aligned}}}$

(usando ${\displaystyle x\geq 0}$ per ottenere la disuguaglianza finale) in modo che

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }t_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }s_{n}=e^{x},}$

dove l'esponenziale ${\displaystyle e^{x}}$ è definito con la seconda caratterizzazione. Si deve utilizzare il limite superiore perché non si sa ancora se realmente ${\displaystyle t_{n}}$ converge. Ora, per l'altro verso della disuguaglianza, si nota che dall'espressione di prima con ${\displaystyle t_{n}}$, se ${\displaystyle m\leq n}$, si ottiene

${\displaystyle 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)+\cdots +{\frac {x^{m}}{m!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {m-1}{n}}\right)\leq t_{n}.}$

Fissato ${\displaystyle m}$, si manda ${\displaystyle n}$ all'infinito e si ricava

${\displaystyle s_{m}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{m}}{m!}}\leq \liminf _{n\to \infty }t_{n}}$

(ancora, si deve usare il limite inferiore poiché non si conosce se il limite effettivamente esiste). Ora, presa la disuguaglianza appena ottenuta, si prende ${\displaystyle m}$ tendente all'infinito e tenendo conto dell'altra si ha

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }t_{n}\leq e^{x}\leq \liminf _{n\to \infty }t_{n},}$

cosicché

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }t_{n}=e^{x}.}$

Si può quindi estendere questa equivalenza ai numeri negativi notando che ${\displaystyle \left(1-{\frac {r}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{n}=\left(1-{\frac {r^{2}}{n^{2}}}\right)^{n}}$ e prendendo il limite per ${\displaystyle n}$ che tende all'infinito. Il termine d'errore di questa limite è rappresentato da

${\displaystyle \left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=e^{x}\left(1-{\frac {x^{2}}{2n}}+{\frac {x^{3}(8+3x)}{24n^{2}}}+\cdots \right),}$

dove il grado dei polinomi (in ${\displaystyle x}$) nel termine con denominatore ${\displaystyle x^{k}}$ è ${\displaystyle 2k}$.

Si definisca la funzione logaritmo naturale in termini dell'integrale definito come sopra. Per il teorema fondamentale del calcolo integrale,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {d}{dx}}\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt={\frac {1}{x}}.}$

Inoltre, ${\displaystyle \ln 1=\int _{1}^{1}{\frac {1}{t}}\,dt=0.}$

Sia ${\displaystyle x}$ un numero reale fissato, e sia

${\displaystyle y=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

Si mostrerà che ${\displaystyle \ln(y)=x}$, il quale implica che ${\displaystyle y=e^{x}}$, dove ${\displaystyle e^{x}}$ è secondo la definizione 3. Si ha

${\displaystyle \ln y=\ln \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\to \infty }\ln \left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

Qui si è usata la continuità di ${\displaystyle \ln(y)}$, che segue dalla continuità di ${\displaystyle 1/t}$:

${\displaystyle \ln y=\lim _{n\to \infty }n\ln \left(1+{\frac {x}{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {x\ln \left(1+(x/n)\right)}{(x/n)}}.}$

Qui invece si è usato il fatto che ${\displaystyle \ln(a^{n})=n\ln(a)}$, che può essere dimostrato tramite induzione matematica per i numeri naturali oppure usando l'integrazione per sostituzione. (L'estensione a potenze reali deve aspettare finché ${\displaystyle \ln }$ e ${\displaystyle \exp }$ sono definiti come uno l'inverso dell'altro, in modo che ${\displaystyle a^{b}}$ possa essere espresso per ${\displaystyle b}$ reale come ${\displaystyle e^{b\ln(a)}}$.)

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln y&=x\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\ln \left(1+h\right)}{h}},\qquad {\text{dove }}h={\frac {x}{n}}\\&=x\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\ln \left(1+h\right)-\ln 1}{h}}=x\cdot {\frac {d}{dt}}\ln t{\Bigg |}_{t=1}=x.\end{aligned}}}$

Sia ${\displaystyle n}$ un numero intero non negativo. Per la definizione 4 e utilizzando l'induzione, ${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=y}$.

Dunque ${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}{\Bigg |}_{x=0}=y(0)=1.}$

Usando la serie di Taylor,

${\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$

Questo mostra che la definizione 4 implica la 2.

Secondo la definizione 2,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}e^{x}&={\frac {d}{dx}}\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nx^{n-1}}{n!}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{(n-1)!}}\\[6pt]&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}},\qquad {\text{dove }}k=n-1\\[6pt]&=e^{x}\end{aligned}}}$

Inoltre, ${\displaystyle e^{0}=1+0+{\frac {0^{2}}{2!}}+{\frac {0^{3}}{3!}}+\cdots =1.}$ Questo dimostra che la definizione 2 implica la 4, concludendo la dimostrazione.

La seguente dimostrazione è la versione semplificata di una in Hewitt e Stromberg, esercizio 18.46. Prima, si prova che la misurabilità (o l'integrabilità secondo Lebesgue) implica la continuità per una funzione ${\displaystyle f(x)}$ non nulla che soddisfa ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$, e che la continuità implica ${\displaystyle f(x)=e^{kx}}$ per qualche ${\displaystyle k}$, e alla fine da ${\displaystyle f(1)=e}$ si ricava ${\displaystyle k=1}$.

Prima di tutto si dimostra un po' di proprietà elementari di ${\displaystyle f(x)}$ con l'ipotesi che ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$ e ${\displaystyle f(x)}$ non è identicamente zero:

• Se ${\displaystyle f(x)}$ è non nulla in un punto ${\displaystyle y}$, allora è non nulla ovunque. Dimostrazione: ${\displaystyle f(y)=f(x)f(y-x)\neq 0}$ implica ${\displaystyle f(x)\neq 0}$.
• ${\displaystyle f(0)=1}$. Dimostrazione: ${\displaystyle f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)}$ e ${\displaystyle f(x)}$ non è zero.
• ${\displaystyle f(-x)=1/f(x)}$. Dimostrazione: ${\displaystyle 1=f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)}$.
• Se ${\displaystyle f(x)}$ è continua in un punto ${\displaystyle y}$, allora è continua ovunque. Dimostrazione: ${\displaystyle f(x+\delta )-f(x)=f(x-y)[f(y+\delta )-f(y)]\rightarrow 0}$ con ${\displaystyle \delta \rightarrow 0}$ per la continuità in ${\displaystyle y}$.

La seconda e terza proprietà significano che è sufficiente di dimostrare che ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ per ${\displaystyle x}$ positivi.

Se ${\displaystyle f(x)}$ è una funzione integrabile secondo Lebesgue, allora si può definire

${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{x}f(x')\,dx'.}$

Da ciò segue che

${\displaystyle g(x+y)-g(x)=\int _{x}^{x+y}f(x')\,dx'=\int _{0}^{y}f(x+x')\,dx'=f(x)g(y).}$

Poiché ${\displaystyle f(x)}$ è non nulla, si può scegliere qualche ${\displaystyle y}$ tale che ${\displaystyle g(y)\neq 0}$ per risolvere l'espressione precedente in ${\displaystyle f(x)}$. Pertanto:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x+\delta )-f(x)&={\frac {[g(x+\delta +y)-g(x+\delta )]-[g(x+y)-g(x)]}{g(y)}}\\&={\frac {[g(x+y+\delta )-g(x+y)]-[g(x+\delta )-g(x)]}{g(y)}}\\&={\frac {f(x+y)g(\delta )-f(x)g(\delta )}{g(y)}}=g(\delta ){\frac {f(x+y)-f(x)}{g(y)}}.\end{aligned}}}$

L'espressione finale deve tendere a zero se ${\displaystyle \delta \rightarrow 0}$, dato che ${\displaystyle g(0)=0}$ e ${\displaystyle g(x)}$ è continua. Segue che ${\displaystyle f(x)}$ è continua.

Si dimostra ora che ${\displaystyle f(q)=e^{kq}}$, per qualche ${\displaystyle k}$, per ogni numero razionale positivo ${\displaystyle q}$. Sia ${\displaystyle q=n/m}$ per gli interi positivi ${\displaystyle n}$ e ${\displaystyle m}$. Allora

${\displaystyle f\left({\frac {n}{m}}\right)=f\left({\frac {1}{m}}+\cdots +{\frac {1}{m}}\right)=f\left({\frac {1}{m}}\right)^{n}}$

per induzione matematica su ${\displaystyle n}$. Dunque, ${\displaystyle f(1/m)^{m}=f(1)}$ e quindi

${\displaystyle f\left({\frac {n}{m}}\right)=f(1)^{n/m}=e^{k(n/m)}.}$

per ${\displaystyle k=\ln[f(1)]}$. Si noti che se ci si restringe alla funzione a valori reali ${\displaystyle f(x)}$, allora ${\displaystyle f(x)=f(x/2)^{2}}$ è positiva ovunque e allora ${\displaystyle k}$ è reale.

Infine, per continuità, dal momento che ${\displaystyle f(x)=e^{kx}}$ per ogni ${\displaystyle x}$ razionale, deve essere vero per ogni numero reale poiché la chiusura dei razionali sono i reali (cioè, si può scrivere ogni ${\displaystyle x}$ reale come il limite di una successione di razionali). Se ${\displaystyle f(1)=e}$ allora ne deriva che ${\displaystyle k=1}$. Questo è equivalente alla definizione 1 (o 2, o 3), a seconda di quale caratterizzazione si usa per e.

Secondo la definizione 2,

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left(\left(1+h+{\frac {h^{2}}{2!}}+{\frac {h^{3}}{3!}}+{\frac {h^{4}}{4!}}+\cdots \right)-1\right)=\lim _{h\to 0}\left(1+{\frac {h}{2!}}+{\frac {h^{2}}{3!}}+{\frac {h^{3}}{4!}}+\cdots \right)=1.}$

Secondo la definizione 6,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=\lim _{h\to 0}{\frac {e^{x+h}-e^{x}}{h}}=e^{x}\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=e^{x}.}$

Ma si ha inoltre ${\displaystyle e^{0}=1}$, dunque la definizione 6 implica la definizione 4.

• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition (McGraw–Hill, 1976), chapter 8.
• Edwin Hewitt e Karl Stromberg, Real and Abstract Analysis (Springer, 1965).