Densità spettrale di potenza : Proprietà, Voci correlate Wikipedia, l'enciclopedia libera

Densità spettrale di potenza

Nel seguente testo sull'argomento matematica è presente una sospetta violazione di copyright.

Motivo: Testo che sembra copiato di sana pianta da qualche manuale universitario

In teoria dei segnali, dato un generico segnale di potenza $x(t)\in \mathbb {C} ^{1}$ con trasformata di Fourier $X(f)$ e valore di potenza ${\mathcal {P}}_{x}\$ , si definisce densità spettrale di potenza (o anche spettro bilaterale di densità di potenza) la seguente funzione della frequenza $f$ :

${\mathcal {P}}_{x}(f):=\lim _{T\to +\infty }\left({\frac {|X_{T}(f)|^{2}}{T}}\right),\quad \forall f\quad$

dove $X_{T}(f):={\mathcal {F}}\{x_{T}(t)\}$ è la Trasformata di Fourier del segnale:

$x_{T}(t):=x(t)rect\left({\frac {t}{T}}\right)\equiv {\begin{cases}x(t),&{\mbox{se }}0\leq |t|\leq T/2\\0,&{\mbox{se }}|t|>T/2\end{cases}}$

Si osservi che ciò vale solo se $x(t)$ è un segnale di potenza; se il segnale fosse di energia, avrebbe senso ricercare invece la densità spettrale di energia.

È possibile calcolare la potenza del segnale ${\mathcal {P}}_{x}$ valutando l'area sottesa dalla funzione ${\mathcal {P}}_{x}(f)$ per tutte le frequenze dello spettro elettromagnetico, ovvero calcolando:

${\mathcal {P}}_{x}\equiv \int _{-\infty }^{+\infty }{\mathcal {P}}_{x}(f)df\quad$

Proprietà

È una funzione a valori reali e non negativi della frequenza $f$ , ovvero ${\mathcal {P}}_{x}(f)\in \mathbb {R} ^{1}\geq 0,\quad \forall f$ ;
Quando $x(t)$ è a valori reali allora ${\mathcal {P}}_{x}(f)$ è una funzione pari, cioè ${\mathcal {P}}_{x}(-f)={\mathcal {P}}_{x}(f),\quad \forall f\geq 0,\quad (x(t)\in \mathbb {R} ^{1})$ ;
${\mathcal {P}}_{x}(f)$ è ottenibile tramite il Teorema di Wiener-Chinčin una volta nota la funzione di autocorrelazione $p_{xx}(t)$ , in particolare ${\mathcal {P}}_{x}(f):={\mathcal {F}}\{p_{xx}(t)\}$ .