Distanza di Minkowski

In matematica, la distanza di Minkowski è una distanza in uno spazio euclideo che può essere considerata una generalizzazione sia della distanza euclidea sia della distanza di Manhattan.

Definizione

La distanza di Minkowski di ordine ${\displaystyle p}$ tra due punti ${\displaystyle P=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ e ${\displaystyle Q=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ è definita come:

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{1/p}}$

Questa distanza si usa tipicamente con ${\displaystyle p=1}$ o ${\displaystyle p=2}$: il primo caso riconduce alla distanza di Manhattan, mentre il secondo rappresenta la distanza euclidea.

Per ${\displaystyle p\geq 1}$ la distanza di Minkowski è una metrica, nel senso che soddisfa la disuguaglianza triangolare come conseguenza della disuguaglianza di Minkowski. Quando ${\displaystyle p<1}$, la distanza tra ${\displaystyle (0,0)}$ e ${\displaystyle (1,1)}$ è ${\displaystyle 2^{1/p}>2}$, ma il punto ${\displaystyle (0,1)}$ è a distanza 1 da entrambi.

Nel caso limite in cui ${\displaystyle p}$ tende a infinito si ha la distanza di Čebyšëv:

${\displaystyle \lim _{p\to +\infty }{\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}=\max _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|}$

Per ${\displaystyle p}$ che tende a ${\displaystyle -\infty }$, in modo simile si ha:

${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }{\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}=\min _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|}$

Bibliografia

• (EN) John P. van de Geer, Some Aspects of Minkowski Distance, Leiden University, Department of Data Theory, 1995.

Voci correlate

• Distanza (matematica)
• Distanza di Čebyšëv
• Distanza euclidea
• Geometria del taxi

Collegamenti esterni

• (EN) Jan Schulz - Minkowski distance, su code10.info.

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