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In teoria delle probabilità la distribuzione paretiana (o distribuzione di Pareto , così chiamata in onore di Vilfredo Pareto) è una distribuzione di probabilità continua, utilizzata in particolar modo per descrivere la distribuzione dei redditi.
Metodologia[1] La funzione di densità di probabilità associata alla distribuzione paretiana è
f ( x ) = α β α x α + 1 {\displaystyle \ f(x)={\frac {\alpha \beta ^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}} f ( x ) = { α β α x α + 1 per x ≥ β 0 per x < β {\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\dfrac {\alpha \beta ^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}&{\text{per }}x\geq \beta \\0&{\text{per }}x<\beta \end{cases}}} La distribuzione paretiana è caratterizzata da due parametri: uno di posizione β {\displaystyle \beta } X {\displaystyle X} α {\displaystyle \alpha }
La variabile casuale paretiana è spesso utilizzata per modellizzare la distribuzione del reddito; in tal caso, β {\displaystyle \beta } reddito minimo .
Integrando la funzione densità tra β {\displaystyle \beta } x ∈ ( β ; + ∞ ) {\displaystyle x\in (\beta ;+\infty )}
F X ( x ) = α β α ∫ β + ∞ ξ − ( α + ) d ξ = α β α ⋅ − 1 α ξ − α | β + ∞ = − β α ⋅ 1 ξ α | β x = − β α ( 1 x α − 1 β α ) = 1 − ( β x ) α {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}F_{X}(x)=\alpha \beta ^{\alpha }\int _{\beta }^{+\infty }\xi ^{-(\alpha +)}d\xi &=\alpha \beta ^{\alpha }\cdot -{\frac {1}{\alpha }}\xi ^{-\alpha }{\bigg |}_{\beta }^{+\infty }=-\beta ^{\alpha }\cdot {\dfrac {1}{\xi ^{\alpha }}}{\bigg \vert }_{\beta }^{x}\\[2ex]&=-\beta ^{\alpha }\left({\dfrac {1}{x^{\alpha }}}-{\dfrac {1}{\beta ^{\alpha }}}\right)=1-\left({\dfrac {\beta }{x}}\right)^{\alpha }\end{alignedat}}}
F ( x ) = { 1 − ( β x ) α per x ≥ β 0 per x < β {\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-{\bigg (}{\dfrac {\beta }{x}}{\bigg )}^{\alpha }&{\text{per }}x\geq \beta \\0&{\text{per }}x<\beta \end{cases}}}
I suoi principali parametri sono:
Momenti ordinari μ 1 = ∫ β + ∞ x α β α x α + 1 d x = α β α ∫ β + ∞ x − α d x = α β α ⋅ x 1 − α 1 − α | β + ∞ = α β α 1 − α ⋅ 1 x α − 1 | β + ∞ = α β α 1 − α ( 0 − 1 β α − 1 ) = α β α − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=\displaystyle \int _{\beta }^{+\infty }x{\dfrac {\alpha \beta ^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}\,dx=\alpha \beta ^{\alpha }\displaystyle \int _{\beta }^{+\infty }x^{-\alpha }\,dx=\alpha \beta ^{\alpha }\cdot {\dfrac {x^{1-\alpha }}{1-\alpha }}{\bigg \vert }_{\beta }^{+\infty }\\[2ex]&={\dfrac {\alpha \beta ^{\alpha }}{1-\alpha }}\cdot {\dfrac {1}{x^{\alpha -1}}}{\bigg \vert }_{\beta }^{+\infty }={\dfrac {\alpha \beta ^{\alpha }}{1-\alpha }}\left(0-{\dfrac {1}{\beta ^{\alpha -1}}}\right)={\dfrac {\alpha \beta }{\alpha -1}}\\\end{aligned}}} Da cui si ottiene: μ 1 = { α β x − 1 per α > 1 ∞ per α ≥ 1 {\displaystyle \mu _{1}={\begin{cases}{\dfrac {\alpha \beta }{x-1}}&{\text{per }}\alpha >1\\\infty &{\text{per }}\alpha \geq 1\end{cases}}} μ 2 = α β α ∫ β + ∞ x 2 x α + 1 d x = α β α ∫ β + ∞ x 1 − α d x = α β α ⋅ 1 2 − α x 2 − α | β + ∞ = α β α ⋅ 1 2 − α 1 x α − 2 | β + ∞ = α β α ⋅ 1 2 − α ( 0 − 1 β α − 2 ) = − α β α 2 − α ⋅ 1 β α − 2 = α β 2 α − 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{2}&=\alpha \beta ^{\alpha }\int _{\beta }^{+\infty }{\dfrac {x^{2}}{x^{\alpha +1}}}\,dx=\alpha \beta ^{\alpha }\int _{\beta }^{+\infty }x^{1-\alpha }\,dx=\alpha \beta ^{\alpha }\cdot {\dfrac {1}{2-\alpha }}x^{2-\alpha }{\bigg \vert }_{\beta }^{+\infty }\\[2ex]&=\alpha \beta ^{\alpha }\cdot {\dfrac {1}{2-\alpha }}{\dfrac {1}{x^{\alpha -2}}}{\bigg \vert }_{\beta }^{+\infty }=\alpha \beta ^{\alpha }\cdot {\dfrac {1}{2-\alpha }}\left(0-{\dfrac {1}{\beta ^{\alpha -2}}}\right)\\[2ex]&=-{\dfrac {\alpha \beta ^{\alpha }}{2-\alpha }}\cdot {\dfrac {1}{\beta ^{\alpha -2}}}={\dfrac {\alpha \beta ^{2}}{\alpha -2}}\end{aligned}}} Da cui si ricava: μ 2 = { α β 2 x − 2 per α > 2 ∞ per α ≥ 2 {\displaystyle \mu _{2}={\begin{cases}{\dfrac {\alpha \beta ^{2}}{x-2}}&{\text{per }}\alpha >2\\\infty &{\text{per }}\alpha \geq 2\end{cases}}} In generale un momento di ordine n {\displaystyle n} μ n = { α β n x − n per 0 < n < α ∞ per n ≥ α {\displaystyle \mu _{n}={\begin{cases}{\dfrac {\alpha \beta ^{n}}{x-n}}&{\text{per }}0<n<\alpha \\\infty &{\text{per }}n\geq \alpha \end{cases}}} M ( θ ) = E [ e θ x ] = α ( − β θ ) α Γ ( − α , − β θ ) {\displaystyle M(\theta )=E[e^{\theta x}]=\alpha (-\beta \theta )^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-\beta \theta )}
dove Γ ( − α , − β θ ) {\displaystyle \Gamma (-\alpha ,-\beta \theta )}
La funzione generatrice di momenti è definita solo per valori non positivi di θ {\displaystyle \theta }
Varianza σ 2 = μ 2 − μ 1 2 = α β 2 α − 2 − ( α β α − 1 ) 2 = α β 2 α − 2 − α 2 β 2 ( α − 1 ) 2 = α β 2 ( α − 1 ) 2 − α 2 β 2 ( α − 2 ) ( α − 2 ) ( α − 1 ) 2 = α 3 β 2 + α β 2 − 2 α 2 β 2 − α 3 β 2 + 2 α 2 β 2 ( α − 2 ) ( α − 1 ) 2 = α β 2 ( α − 2 ) ( α − 1 ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{2}&=\mu _{2}-\mu _{1}^{2}={\dfrac {\alpha \beta ^{2}}{\alpha -2}}-\left({\dfrac {\alpha \beta }{\alpha -1}}\right)^{2}={\dfrac {\alpha \beta ^{2}}{\alpha -2}}-{\dfrac {\alpha ^{2}\beta ^{2}}{(\alpha -1)^{2}}}\\[2ex]&={\dfrac {\alpha \beta ^{2}(\alpha -1)^{2}-\alpha ^{2}\beta ^{2}(\alpha -2)}{(\alpha -2)(\alpha -1)^{2}}}\\[2ex]&={\dfrac {\alpha ^{3}\beta ^{2}+\alpha \beta ^{2}-2\alpha ^{2}\beta ^{2}-\alpha ^{3}\beta ^{2}+2\alpha ^{2}\beta ^{2}}{(\alpha -2)(\alpha -1)^{2}}}\\[2ex]&={\dfrac {\alpha \beta ^{2}}{(\alpha -2)(\alpha -1)^{2}}}\end{aligned}}} Da cui ricaviamo: σ 2 = { α β 2 ( α − 2 ) ( α − 1 ) 2 per α > 2 ∞ per α ∈ ( 1 ; 2 ] {\displaystyle \sigma ^{2}={\begin{cases}{\dfrac {\alpha \beta ^{2}}{(\alpha -2)(\alpha -1)^{2}}}&{\text{per }}\alpha >2\\\infty &{\text{per }}\alpha \in (1;2]\end{cases}}} Si noti che per α ≤ 1 {\displaystyle \alpha \leq 1} Mediana
1 − ( β ξ 0.5 ) α = 1 2 → ( β ξ 0.5 ) α = 1 2 {\displaystyle 1-{\bigg (}{\frac {\beta }{\xi _{0.5}}}{\bigg )}^{\alpha }={\frac {1}{2}}\rightarrow {\bigg (}{\frac {\beta }{\xi _{0.5}}}{\bigg )}^{\alpha }={\frac {1}{2}}}
ξ 0.5 = 2 α β {\displaystyle \xi _{0.5}={\sqrt[{\alpha }]{2}}\beta }
Simmetria β 1 = 4 ( α − 2 ) ( α + 1 ) 2 α ( α − 3 ) 2 {\displaystyle \beta _{1}={\frac {4(\alpha -2)(\alpha +1)^{2}}{\alpha (\alpha -3)^{2}}}} α > 3 {\displaystyle \alpha >3} Curtosi β 2 = 3 ( α − 2 ) ( 3 α 2 + α + 2 ) α ( α − 3 ) ( α − 4 ) {\displaystyle \beta _{2}={\frac {3(\alpha -2)(3\alpha ^{2}+\alpha +2)}{\alpha (\alpha -3)(\alpha -4)}}} α > 4 {\displaystyle \alpha >4} Caratteristiche La variabile casuale paretiana ha elasticità costante (negativa):
ε(x) = df / f / dx / x = -(α+1) che può essere interpretato nel senso che, qualunque sia il reddito x0
se per il reddito x0 abbiamo y0 persone che lo guadagnano allora per il reddito x0 +1% ci saranno y0 -(α+1)% persone Note ^ Matteo Morella, Fabio Rossi, Matteo Pio Lubrano e Domenico Falato, Legge di Pareto e le sue applicazioni , su academia.edu . Voci correlate Effetto Lindy Variabile casuale di Dagum Diagramma di Pareto Legge di potenza Legge di Zipf Variabile casuale logonormale, anch'essa usata per descrivere distribuzioni di redditi Vilfredo Pareto Principio di Pareto Altri progetti Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su distribuzione paretiana Collegamenti esterni (EN Distribuzione paretiana , su MathWorld , Wolfram Research. Controllo di autorità GND (DE
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![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}F_{X}(x)=\alpha \beta ^{\alpha }\int _{\beta }^{+\infty }\xi ^{-(\alpha +)}d\xi &=\alpha \beta ^{\alpha }\cdot -{\frac {1}{\alpha }}\xi ^{-\alpha }{\bigg |}_{\beta }^{+\infty }=-\beta ^{\alpha }\cdot {\dfrac {1}{\xi ^{\alpha }}}{\bigg \vert }_{\beta }^{x}\\[2ex]&=-\beta ^{\alpha }\left({\dfrac {1}{x^{\alpha }}}-{\dfrac {1}{\beta ^{\alpha }}}\right)=1-\left({\dfrac {\beta }{x}}\right)^{\alpha }\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2323585cd1b2ee56785e5647c78d2d6bb86b942e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=\displaystyle \int _{\beta }^{+\infty }x{\dfrac {\alpha \beta ^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}\,dx=\alpha \beta ^{\alpha }\displaystyle \int _{\beta }^{+\infty }x^{-\alpha }\,dx=\alpha \beta ^{\alpha }\cdot {\dfrac {x^{1-\alpha }}{1-\alpha }}{\bigg \vert }_{\beta }^{+\infty }\\[2ex]&={\dfrac {\alpha \beta ^{\alpha }}{1-\alpha }}\cdot {\dfrac {1}{x^{\alpha -1}}}{\bigg \vert }_{\beta }^{+\infty }={\dfrac {\alpha \beta ^{\alpha }}{1-\alpha }}\left(0-{\dfrac {1}{\beta ^{\alpha -1}}}\right)={\dfrac {\alpha \beta }{\alpha -1}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6693a5619d7eedb6e754d7158b09c805f03a1668)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{2}&=\alpha \beta ^{\alpha }\int _{\beta }^{+\infty }{\dfrac {x^{2}}{x^{\alpha +1}}}\,dx=\alpha \beta ^{\alpha }\int _{\beta }^{+\infty }x^{1-\alpha }\,dx=\alpha \beta ^{\alpha }\cdot {\dfrac {1}{2-\alpha }}x^{2-\alpha }{\bigg \vert }_{\beta }^{+\infty }\\[2ex]&=\alpha \beta ^{\alpha }\cdot {\dfrac {1}{2-\alpha }}{\dfrac {1}{x^{\alpha -2}}}{\bigg \vert }_{\beta }^{+\infty }=\alpha \beta ^{\alpha }\cdot {\dfrac {1}{2-\alpha }}\left(0-{\dfrac {1}{\beta ^{\alpha -2}}}\right)\\[2ex]&=-{\dfrac {\alpha \beta ^{\alpha }}{2-\alpha }}\cdot {\dfrac {1}{\beta ^{\alpha -2}}}={\dfrac {\alpha \beta ^{2}}{\alpha -2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3e714daf3302be715660fa074a5d02ad6c77240)
![{\displaystyle M(\theta )=E[e^{\theta x}]=\alpha (-\beta \theta )^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-\beta \theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a128700dd0a1726879f996fb5fabed3a4ad8d71)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{2}&=\mu _{2}-\mu _{1}^{2}={\dfrac {\alpha \beta ^{2}}{\alpha -2}}-\left({\dfrac {\alpha \beta }{\alpha -1}}\right)^{2}={\dfrac {\alpha \beta ^{2}}{\alpha -2}}-{\dfrac {\alpha ^{2}\beta ^{2}}{(\alpha -1)^{2}}}\\[2ex]&={\dfrac {\alpha \beta ^{2}(\alpha -1)^{2}-\alpha ^{2}\beta ^{2}(\alpha -2)}{(\alpha -2)(\alpha -1)^{2}}}\\[2ex]&={\dfrac {\alpha ^{3}\beta ^{2}+\alpha \beta ^{2}-2\alpha ^{2}\beta ^{2}-\alpha ^{3}\beta ^{2}+2\alpha ^{2}\beta ^{2}}{(\alpha -2)(\alpha -1)^{2}}}\\[2ex]&={\dfrac {\alpha \beta ^{2}}{(\alpha -2)(\alpha -1)^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7df380621bbbddffbef1ee168ea65afb8a84ccf6)
![{\displaystyle \sigma ^{2}={\begin{cases}{\dfrac {\alpha \beta ^{2}}{(\alpha -2)(\alpha -1)^{2}}}&{\text{per }}\alpha >2\\\infty &{\text{per }}\alpha \in (1;2]\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97b1f6295bd1b8f78fbebd6683c8f59c3c465ca6)
![{\displaystyle \xi _{0.5}={\sqrt[{\alpha }]{2}}\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11dfcc7defd876ad44a1698cd2e1053d6d791623)
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