Disuguaglianza di Darboux

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La disuguaglianza di Darboux è una disuguaglianza relativa all'integrazione sul piano complesso: essa afferma che il modulo dell'integrale di una funzione, lungo una curva del piano complesso, è sempre minore o uguale del massimo valore in modulo della funzione, moltiplicato per la lunghezza della curva. In maniera più formale, per l'integrale curvilineo di una funzione ${\displaystyle f(z)}$ lungo la curva ${\displaystyle \gamma \subset \mathbb {C} }$ la disuguaglianza di Darboux è la seguente:

${\displaystyle \left|{\int _{\gamma }{f\left(z\right)dz}}\right|\leq \int _{\gamma }{\left|{f\left(z\right)}\right|dz}\leq M\cdot l}$

dove ${\displaystyle M}$ è il massimo valore in modulo assunto dalla funzione lungo la curva, e ${\displaystyle l}$ è la lunghezza della curva.

Dimostrazione: suddividiamo la curva ${\displaystyle \gamma }$ in ${\displaystyle n}$ punti ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$, e tra i punti ${\displaystyle (z_{0},z_{1});(z_{1},z_{2});\ldots ;(z_{n-1},z_{n})}$ prendiamo i punti ${\displaystyle \xi _{1},\ldots ,\xi _{n}}$. Definiamo ora

${\displaystyle S_{n}=f(\xi _{1})(z_{1}-z_{0})+f(\xi _{2})(z_{2}-z_{1})+\ldots +f(\xi _{n})(z_{n}-z_{n-1})}$

da cui si ottiene

${\displaystyle \lim \limits _{n\to +\infty }S_{n}=\int _{\gamma }{f\left(z\right)dz}}$

e vale inoltre la seguente relazione

${\displaystyle \left|{S_{n}}\right|\leq \sum \limits _{k=1}^{n}{\left|{f\left({\xi _{k}}\right)}\right|\left|{z_{k}-z_{k-1}}\right|}\leq M\sum \limits _{k=1}^{n}{\left|{z_{k}-z_{k-1}}\right|}}$

da cui passando al limite per ${\displaystyle n\rightarrow +\infty }$ si ottiene la disuguaglianza di Darboux.

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