Energia totale relativistica

L'energia totale relativistica E {\displaystyle E} , nella teoria della relatività ristretta, è data dall'Energia a riposo E 0 = m c 2 {\displaystyle E_{0}=mc^{2}} a cui va aggiunta l'Energia cinetica relativistica K = ( γ − 1 ) m c 2 {\displaystyle K=(\gamma -1)\,mc^{2}}  :

E = E 0 + K = m c 2 + ( γ − 1 ) m c 2 = γ m c 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 {\displaystyle E=E_{0}+K=mc^{2}+(\gamma -1)\,mc^{2}=\gamma \,m\,c^{2}={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}

dove:

  • m {\displaystyle m} è la massa invariante della particella
  • c {\displaystyle c} è la velocità della luce
  • γ {\displaystyle \gamma } è il fattore di Lorentz
  • p = γ m v {\displaystyle p=\gamma \,mv} è la quantità di moto relativistica

Si è qui usata la notazione moderna,[1][2] che denota con m la massa invariante a ogni velocità v < c (numericamente coincidente con la massa a riposo m 0 {\displaystyle m_{0}} ) e conseguentemente si scrive:

E = γ m c 2 {\displaystyle E=\gamma \,mc^{2}}

per l'energia relativistica totale e

E 0 = m c 2 {\displaystyle E_{0}=mc^{2}}

per l'energia a riposo.

Approssimazione per basse velocità

L'energia cinetica relativistica K {\displaystyle K} è data dalla differenza tra l'energia totale E = γ m c 2 {\displaystyle E=\gamma \,mc^{2}} e l'energia a riposo E 0 = m c 2 {\displaystyle E_{0}=mc^{2}} :

K = E − E 0 = γ m c 2 − m c 2 = ( γ − 1 ) m c 2 {\displaystyle K=E-E_{0}=\gamma \,mc^{2}-mc^{2}=\left(\gamma -1\right)\,mc^{2}}

che per piccole velocità (v ≪ c) è approssimabile all'espressione classica dell'energia cinetica,

K = 1 2 m v 2 {\displaystyle K={\frac {1}{2}}\,mv^{2}} .

Si può mostrare che le due forme concordano espandendo γ {\displaystyle \gamma } in serie di Taylor:

γ = 1 1 − ( v / c ) 2 ≃ 1 + 1 2 ( v c ) 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\simeq 1\,+\,{\frac {1}{2}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}} .

Inserendolo nell'equazione originaria, si ottiene un'approssimazione all'espressione classica dell'energia cinetica:

K ≃ 1 2 ( v c ) 2 m c 2 ≃ 1 2 m v 2 {\displaystyle K\simeq {\frac {1}{2}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}mc^{2}\simeq {\frac {1}{2}}\,mv^{2}} .

L'energia totale relativistica comprende anche l'energia a riposo del corpo (che dipende solo dalla massa a riposo), che non compare invece nella definizione classica dell'energia. L'espressione dell'energia cinetica relativistica è invece equivalente a quella classica per basse velocità v rispetto a c. Questo mostra come la relatività sia una teoria più generale rispetto alla meccanica classica, che rientra nella meccanica relativistica come caso particolare.

Note

  1. ^ (EN) Lev B. Okun, The concept of mass (PDF), in Physics Today, vol. 42, 1989, pp. 31-36.
  2. ^ Elio Fabri, Dialogo sulla massa relativistica (PDF), in La Fisica nella Scuola, vol. 14, n. 25, 1981.

Voci correlate

Collegamenti esterni

  • Energia relativistica, su openfisica.com. URL consultato il 9 luglio 2019 (archiviato dall'url originale il 22 settembre 2009).
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