Equazioni di Bessel

In matematica, le equazioni di Bessel, il cui nome è dovuto a Friedrich Wilhelm Bessel, sono un caso particolare dell'equazione ipergeometrica confluente, le cui soluzioni definiscono le armoniche cilindriche o funzioni di Bessel.

Si tratta di equazioni differenziali ordinarie del second'ordine lineari omogenee della forma:

${\displaystyle x^{2}y''+xy'+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0}$

${\displaystyle x^{2}y''+xy'+(x^{2}+\alpha ^{2})y=0}$

dove si è utilizzata la notazione di Lagrange per le derivate totali per l'incognita ${\displaystyle y}$. Il numero ${\displaystyle \alpha }$ è detto l'ordine dell'equazione, mentre ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ assumono valori in ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Esplicitando le derivate e dividendo per ${\displaystyle x^{2}}$:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {dy}{dx}}+\left(1\pm {\frac {\alpha ^{2}}{x^{2}}}\right)y=0}$

che si può scrivere anche come:

${\displaystyle {\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\left(x{\frac {dy}{dx}}\right)+\left(1\pm {\frac {\alpha ^{2}}{x^{2}}}\right)y=0}$

Le soluzioni generali sono le armoniche cilindriche o funzioni di Bessel, e si suddividono in funzioni di Bessel del primo tipo (chiamate esse stesse "armoniche cilindriche" e indicate con ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$) e funzioni di Bessel del secondo tipo (dette funzioni di Neumann o funzioni di Weber e indicate con ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$). Un terzo tipo di soluzione, le funzioni di Bessel del terzo tipo o funzioni di Hankel ${\displaystyle H_{\alpha }^{1}(x)}$ e ${\displaystyle H_{\alpha }^{2}(x)}$, sono una particolare combinazione lineare delle precedenti.

Se ${\displaystyle \alpha }$ non è intero una soluzione generale è data da:

${\displaystyle y=C_{1}J_{\alpha }(x)+C_{2}J_{-\alpha }(x)}$

con ${\displaystyle C_{1}}$ e ${\displaystyle C_{2}}$ costanti arbitrarie.

Per un ordine generico la soluzione può invece essere data nelle seguenti forme:

${\displaystyle y=C_{1}J_{\alpha }(x)+C_{2}Y_{\alpha }(x)\qquad y=C_{1}H_{\alpha }^{1}(x)+C_{2}H_{\alpha }^{2}(x)}$

Per un dato ordine le funzioni ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$, ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$, ${\displaystyle H_{\alpha }^{1}(x)}$ e ${\displaystyle H_{\alpha }^{2}(x)}$ sono infatti mutuamente linearmente indipendenti.

Sostituendo ${\displaystyle y=ux^{-1/2}}$ si ottiene la forma ridotta della prima equazione di Bessel:

${\displaystyle u''+\left(1+{\frac {1-4\alpha ^{2}}{4x^{2}}}\right)u=0}$

Sostituendo ${\displaystyle x=z/2i}$ in tale forma ridotta si giunge all'equazione di Whittaker.

• (EN) Milton Abramowitz e Irene Stegun Handbook of Mathematical Functions (Dover, New York, 1964) (capitoli 9, 10,11)
• (EN) Isaac Todhunter, An elementary treatise on Laplace's functions, Lamé's functions and Bessel's functions, New York, Macmillan and co., 1875. URL consultato il 15 luglio 2021.
• (EN) William Ellwood ByerlyAn elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics with applications to problems in mathematical physics. (Ginn & Co., Boston, 1893) (capitolo 7)
• (EN) Andrew Gray e George Ballard Matthews A treatise on Bessel functions and their applications to physics ( Macmillan and co.,New York, 1895)
• (EN) George Neville Watson A treatise on the theory of Bessel Functions (Cambridge University Press, 1922)

• Armoniche cilindriche
• Equazione di Legendre
• Equazione differenziale lineare del secondo ordine
• Equazione ipergeometrica confluente
• Funzione di Whittaker

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• Bessel, equazione di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Equazioni di Bessel, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) N.Kh. Rozov, Bessel equation, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) Funzioni di tipo Bessel (functions.wolfram.com)

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