Equazione di Clausius-Mossotti

In fisica, l'equazione di Clausius-Mossotti, il cui nome è dovuto a Rudolf Clausius e Ottaviano Fabrizio Mossotti, lega la costante dielettrica di un mezzo alle grandezze microscopiche elettromeccaniche che lo caratterizzano, in particolare la densità e la polarizzabilità. Si tratta di una relazione che può essere scritta anche attraverso l'utilizzo dell'indice di rifrazione o della conduttività elettrica: nel primo caso viene detta equazione di Lorentz-Lorenz, da Hendrik Lorentz e Ludvig Lorenz che la scoprirono indipendentemente, mentre quando si considera la conduttività elettrica è chiamata formula di Maxwell (da James Clerk Maxwell).

Da un punto di vista storico, Mossotti analizzò la relazione tra le costanti dielettriche di due diversi mezzi nel 1850,[1] mentre Clausius scrisse la formula per esplicito nel 1879 in termini di indici di rifrazione.[2]

L'equazione

In un dielettrico lineare, omogeneo ed isotropo, l'equazione di Clausius-Mossotti è la seguente:

ε − ε 0 ε + 2 ε 0 = 4 π N A α 3 ρ m M {\displaystyle {\frac {\varepsilon -\varepsilon _{0}}{\varepsilon +2\varepsilon _{0}}}={\frac {4\pi N_{A}\alpha }{3}}{\frac {\rho _{m}}{M}}}

dove:

  • ε {\displaystyle \varepsilon } è la permittività elettrica del materiale
  • ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} è la costante dielettrica del vuoto
  • N A {\displaystyle N_{A}} è il numero di Avogadro
  • α {\displaystyle \alpha } è la polarizzabilità
  • ρ m {\displaystyle \rho _{m}} è la densità di massa
  • M {\displaystyle M} è la massa molecolare

Fattore di Clausius–Mossotti

Il fattore di Clausius–Mossotti descrive il comportamento di una particella soggetta ad una forza dielettroforetica e posta in un dielettrico dispersivo. Data una sfera di dielettrico perfetto con permittività elettrica ε p {\displaystyle \varepsilon _{p}} immersa in un mezzo con permittività complessa ε m {\displaystyle \varepsilon _{m}} , il fattore di Clausius–Mossotti è dato da:[3]

K ( ω ) = ε p ∗ − ε m ∗ ε p ∗ + 2 ε m ∗ {\displaystyle K(\omega )={\frac {\varepsilon _{p}^{*}-\varepsilon _{m}^{*}}{\varepsilon _{p}^{*}+2\varepsilon _{m}^{*}}}}

con:

ε ∗ = ε + σ i ω = ε − i σ ω {\displaystyle \varepsilon ^{*}=\varepsilon +{\frac {\sigma }{i\omega }}=\varepsilon -{\frac {i\sigma }{\omega }}}

dove σ {\displaystyle \sigma } è la conduttività elettrica e ω {\displaystyle \omega } la frequenza angolare del campo elettrico applicato.

La parte reale R e ( K ( ω ) ) {\displaystyle Re(K(\omega ))} è un fattore che determina la direzione e l'intensità della forza dielettroforetica agente sulla particella, mentre la parte immaginaria I m ( K ( ω ) ) {\displaystyle Im(K(\omega ))} si relaziona con il suo momento torcente.

Indice di rifrazione

L'equazione di Lorentz–Lorenz mette in relazione l'indice di rifrazione n {\displaystyle n} e la polarizzabilità media α {\displaystyle \alpha } :

n 2 − 1 n 2 + 2 = 4 π 3 N α {\displaystyle {\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}={\frac {4\pi }{3}}N\alpha }

dove N {\displaystyle N} è il numero di molecole per unità di volume.[4][5]

In una forma più particolare l'equazione fornisce l'indice di rifrazione di un gas diluito:

n ≈ 1 + 3 A p R T {\displaystyle n\approx {\sqrt {1+{\frac {3Ap}{RT}}}}}

dove A {\displaystyle A} è la polarizzabilità totale di una mole di sostanza, p {\displaystyle p} la pressione del gas, R {\displaystyle R} la costante universale dei gas e T {\displaystyle T} la temperatura assoluta.

Note

  1. ^ O. F. Mossotti, Mem. di mathem. e fisica in Modena, 24 11, 1850, p. 49.
  2. ^ R. Clausius, Die mechanische U’grmetheorie, 2, 1879, p. 62.
  3. ^ Michael Pycraft Hughes, AC electrokinetics: applications for nanotechnology, in Nanotechnology, vol. 11, n. 2, 2000, pp. 124–132, DOI:10.1088/0957-4484/11/2/314. URL consultato il 1º maggio 2019 (archiviato dall'url originale il 30 novembre 2020).
  4. ^ Introduction to Solid State Physics/Charles Kittel. - 7th ed. (ISBN 0-471-11181-3) Chapter 13, or 8th ed. (ISBN 0-471-41526-X) p. 464
  5. ^ D. E. Aspnes, Am. J. Phys. 50, 704 (1982)

Bibliografia

  • (EN) O. F. Mossotti, Mem. di mathem. e fisica in Modena, 24 11, 1850, p. 49.
  • (EN) R. Clausius, Die mechanische U’grmetheorie, 2, 1879, p. 62.
  • (EN) Leighton, R. B.; Sands, M Feynman, R. P., Feynman Lectures on Physics, Vol. 2, chap. 32 (Refractive Index of Dense Materials), sec. 3, Addison Wesley, 1989, ISBN 0-201-50064-7.
  • (EN) Markov, Konstantin Z., Elementary Micromechanics of Heterogeneous Media (PDF), in Konstantin Z. Markov and Luigi Preziosi (a cura di), 'Heterogeneous Media: Modelling and Simulation', Boston, Birkhauser, 2000, pp. 1–162, ISBN 978-0-8176-4083-5 (archiviato dall'url originale il 17 luglio 2012).
  • (EN) Gimsa, J., Characterization of particles and biological cells by AC-electrokinetics, in A.V. Delgado (a cura di), Interfacial Electrokinetics and Electrophoresis, New York, Marcel Dekker Inc., 2001, pp. 369–400, ISBN 0-8247-0603-X.
  • (EN) Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics, 8th, Wiley, 1995, ISBN 0-471-41526-X.
  • (EN) Born, Max, and Wolf, Emil, Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference and Diffraction of Light (7th ed.), section 2.3.3, Cambridge University Press (1999) ISBN 0-521-64222-1

Voci correlate

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