Equazione di Nernst-Planck

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In elettromeccanica l'equazione di Nernst descrive la diffusione delle particelle attraverso una membrana selettiva immersa in un mezzo elettrolitico. La densità di corrente è funzione di un potenziale elettromeccanico scalare:

${\displaystyle {\vec {j}}=-k_{em}\nabla \phi _{em}}$

Nell'ipotesi di linearità si possono sovrapporre la legge di Fick e la legge di Ohm:

${\displaystyle {\vec {j}}=-D_{m}\nabla \phi _{m}-\mu \phi _{m}\nabla \phi _{e}}$

dove ${\displaystyle D_{m}}$ è la diffusività massica della specie, ${\displaystyle -\nabla \phi _{e}}$ il campo elettrostatico espresso come gradiente del potenziale elettrico, e ${\displaystyle \mu }$ è la mobilità elettrica, rapporto tra conducibilità meccanica e carica elettrica totale delle particelle:

${\displaystyle \mu =qk_{m}}$

se esprimiamo la diffusività massica secondo la relazione di Einstein-Smoluchowski:

${\displaystyle D_{m}=R\phi _{t}\mu }$

dove R è la costante dei gas, φ_T è la temperatura assoluta, otteniamo:

${\displaystyle {\vec {j}}=-R\phi _{t}\mu \nabla \phi _{m}-\mu \phi _{m}\nabla \phi _{e}}$

Possiamo ora raccogliere rispetto all'operatore differenziale ottenendo l'Equazione di Nernst Planck:

${\displaystyle {\vec {j}}=-{\frac {k\phi _{m}}{q}}\nabla (R\phi _{t}\ln \phi _{m}+\phi _{e})}$,

che definisce un potenziale elettromeccanico: ${\displaystyle \phi _{em}=R\phi _{t}\ln \phi _{m}+\phi _{e}}$,

e una conducibilità elettromeccanica: ${\displaystyle k_{em}={k_{m}\phi _{m} \over q}}$.

Questa ha per definizione dimensione: ${\displaystyle [k_{em}]=[L]^{-1}[T]^{-1}[A]^{-1}}$

Voci correlate

• Legge di Fick
• Legge di Ohm

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