Equazione di Pauli

L'equazione di Pauli, dal nome del fisico austriaco Wolfgang Pauli che l'ha formulata nel 1927,^[1] è una estensione dell'equazione di Schrödinger relativa a una particella di spin 1/2, come ad esempio un elettrone, che interagisce con il campo elettromagnetico. Rappresenta il limite non-relativistico dell'equazione di Dirac, vale a dire il limite per particelle la cui velocità è sufficientemente bassa da poter trascurare gli effetti relativistici.

L'equazione e la derivata covariante

L'equazione di Pauli si scrive:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} ,t)=\left[{\frac {1}{2m}}({\vec {\mathbf {\sigma } }}\cdot ({\vec {\mathbf {p} }}-q{\vec {\mathbf {A} }}))^{2}+q\phi \right]\psi (\mathbf {r} ,t)}$

Dove:

• ${\displaystyle m\ \ }$ è la massa della particella;
• ${\displaystyle q\ \ }$ la carica elettrica;
• ${\displaystyle {\vec {\mathbf {\sigma } }}\ \ }$ sono le tre matrici di Pauli;
• ${\displaystyle {\vec {\mathbf {p} }}\ \ }$ è l'operatore momento dato da ${\displaystyle -i\hbar {\vec {\mathbf {\nabla } }}}$;
• ${\displaystyle {\vec {\mathbf {A} }}\ \ }$ è il potenziale vettore, legato al campo magnetico;
• ${\displaystyle \phi \ \ }$ è il potenziale scalare, legato al campo elettrico;
• ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)}$ è lo spinore funzione d'onda a due componenti.

L'equazione può essere collegata all'equazione di Schrödinger se si sostituiscono le normali derivate parziali con le derivate covarianti:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rightarrow {\frac {\partial }{\partial t}}-{\frac {q}{i\hbar }}\phi }$,

${\displaystyle {\vec {\mathbf {p} }}\rightarrow {\vec {\mathbf {p} }}-q{\vec {\mathbf {A} }}}$.

Questa sostituzione è alla base delle teorie di gauge.

Note

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