Equazione integrale

Si chiama equazione integrale ogni equazione che ha l'incognita sotto il segno di integrale. Per esempio, l'equazione di risoluzione di un'equazione differenziale è un'equazione integrale: in generale c'è una forte relazione tra equazioni differenziali ed integrali, e alcuni problemi possono essere formulati in entrambi i modi, come ad esempio le equazioni di Maxwell.

Equazioni integrali lineari

Lo studio delle equazioni integrali si divide in due settori, relativi alle equazioni lineari e a quelle non lineari. Un'equazione integrale lineare generica nell'incognita φ ( x ) {\displaystyle \varphi (x)} ha la forma:

A ( x ) φ ( x ) + ∫ Ω K ( x , s ) φ ( s )   d s = f ( x ) x ∈ D {\displaystyle A(x)\varphi (x)+\int _{\Omega }K(x,s)\varphi (s)\ ds=f(x)\qquad x\in D}

dove K ( x , z ) {\displaystyle K(x,z)} si chiama nucleo dell'equazione integrale, la funzione A {\displaystyle A} è detta coefficiente e f {\displaystyle f} il termine noto. L'insieme Ω {\displaystyle \Omega } è un sottoinsieme di uno spazio euclideo. Nel caso in cui K {\displaystyle K} e A {\displaystyle A} siano matrici e f {\displaystyle f} , φ {\displaystyle \varphi } funzioni vettoriali, allora si ha un sistema di equazioni lineari integrali. Se f = 0 {\displaystyle f=0} l'equazione (o sistema) si dice omogenea.

Un'equazione integrale lineare in cui un estremo dell'intervallo di integrazione è variabile viene detta equazione di Volterra:

y ( x ) = ∫ a x K ( x , z ) y ( z )   d z + f ( x ) {\displaystyle y(x)=\int _{a}^{x}K(x,z)y(z)\ dz+f(x)}

dove y ( x ) {\displaystyle y(x)} è la funzione incognita.

Se, invece, entrambi gli estremi dell'intervallo di integrazione sono fissi

y ( x ) = ∫ a b K ( x , z ) y ( z )   d z + f ( x ) {\displaystyle y(x)=\int _{a}^{b}K(x,z)y(z)\ dz+f(x)}

viene chiamata equazione integrale di Fredholm.

Quando la funzione incognita si trova solo sotto il segno di integrale allora si hanno equazioni di Volterra e di Fredholm di prima specie, quelle sopra sono dette di seconda specie.

Equazioni integrali non lineari

Un'equazione di Volterra non lineare ha la forma generale:

φ ( x ) = f ( x ) + λ ∫ a x K ( x , t ) F ( x , t , φ ( t ) ) d t {\displaystyle \varphi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,F(x,t,\varphi (t))\,dt}

dove F {\displaystyle F} è una funzione nota.

Un altro esempio è l'equazione di Urysohn:

φ ( x ) = λ ∫ Ω K ( x , s , φ ( s ) ) d s x ∈ Ω {\displaystyle \varphi (x)=\lambda \int _{\Omega }K(x,s,\varphi (s))\,ds\qquad x\in \Omega }

dove Ω {\displaystyle \Omega } è un sottoinsieme chiuso e limitato di uno spazio euclideo finito-dimensionale e il nucleo K ( x , s , t ) {\displaystyle K(x,s,t)} è una funzione data definita per x , s ∈ Ω {\displaystyle x,s\in \Omega } e t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } .

Un caso speciale dell'equazione di Urysohn è l'equazione di Hammerstein:

φ ( x ) = λ ∫ Ω K ( x , s ) f ( s , φ ( s ) ) d s x ∈ Ω {\displaystyle \varphi (x)=\lambda \int _{\Omega }K(x,s)f(s,\varphi (s))\,ds\qquad x\in \Omega }

dove f ( s , t ) {\displaystyle f(s,t)} e K ( x , s ) {\displaystyle K(x,s)} sono funzioni date.

Soluzione numerica

Spesso le equazioni integrali non hanno una soluzione analitica, e devono essere risolte numericamente. Uno dei metodi utilizzati in tale approccio richiede di discretizzare le variabili e rimpiazzare gli integrali con sommatorie:

∑ j = 1 n w j K ( s i , t j ) u ( t j ) = f ( s i ) i = 0 , 1 , ⋯ , n {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}w_{j}K\left(s_{i},t_{j}\right)u(t_{j})=f(s_{i})\qquad i=0,1,\cdots ,n}

Si ottiene in questo modo un sistema di n variabili ed altrettante equazioni. Risolvendolo si giunge al valore delle n variabili:

u ( t 0 ) , u ( t 1 ) , ⋯ , u ( t n ) {\displaystyle u(t_{0}),u(t_{1}),\cdots ,u(t_{n})}

Equazione di Wiener-Hopf

Equazioni integrali della forma:

y ( t ) = λ x ( t ) + ∫ 0 ∞ k ( t − s ) x ( s ) d s 0 ≤ t < ∞ {\displaystyle y(t)=\lambda x(t)+\int _{0}^{\infty }k(t-s)x(s)ds\qquad 0\leq t<\infty }

sono utilizzate nell'ambito del trasporto radiativo, della teoria della diffrazione e per la ricerca di soluzioni nel caso di problemi planari in cui la frontiera del dominio di integrazione è liscia a tratti.

Serie di potenze come soluzione

In molti casi se il nucleo dell'equazione è della forma K ( x t ) {\displaystyle K(xt)} e la trasformata di Mellin di K ( t ) {\displaystyle K(t)} esiste allora si può trovare la soluzione per l'equazione:

g ( s ) = s ∫ 0 ∞ d t K ( s t ) f ( t ) {\displaystyle g(s)=s\int _{0}^{\infty }dtK(st)f(t)}

nella forma di serie di potenze:

f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n M ( n + 1 ) x n {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{M(n+1)}}x^{n}}

dove:

g ( s ) = ∑ n = 0 ∞ a n s − n M ( n + 1 ) = ∫ 0 ∞ d t K ( t ) t n {\displaystyle g(s)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}s^{-n}\qquad M(n+1)=\int _{0}^{\infty }dtK(t)t^{n}}

sono rispettivamente la trasformata zeta della funzione g ( s ) {\displaystyle g(s)} e la trasformata di Mellin del nucleo integrale.

Equazioni agli autovalori

Alcune equazioni integrali si possono ottenere come generalizzazione di equazioni agli autovalori:

∑ j M i , j v j = λ v i {\displaystyle \sum _{j}M_{i,j}v_{j}=\lambda v_{i}}

di cui si fornisce una versione continua:

∫ K ( x , y ) φ ( y ) d y = λ φ ( x ) {\displaystyle \int K(x,y)\varphi (y)\mathrm {d} y=\lambda \varphi (x)}

in cui il nucleo rimpiazza la matrice M {\displaystyle M} e l'autofunzione φ ( y ) {\displaystyle \varphi (y)} prende il posto degli autovettori v j {\displaystyle v_{j}} .

In molti casi il nucleo può essere una distribuzione.

Bibliografia

  • (EN) Maxime Bôcher An introduction to the study of integral equations (Cambridge University Press, 1909)
  • (EN) E. T. Whittaker e G. N. Watson A course of Modern Analysis Capitolo 11, p. 205 (Cambridge University Press, 1915)
  • (EN) Danuta Przeworska-Rolewicz, Stefan Rolewicz Equations in linear spaces (Varsovia: 1968)
  • (FR) Robert d'Adhémar Exercices et problèmes d'analyse[collegamento interrotto] (Parigi: Gauthier-Villars, 1908)
  • (DE) Adolf Kneser Die Integralgleichungen (Braunschweig: Vieweg & Sohn, 1922)
  • (DE) David Hilbert Grundzüge einer allgemeinen theorie der linearen integralgleichungen (Leipzig: B. G. Teubner 1912)
  • (DE) Richard Courant e David Hilbert Methoden der mathematischen Physik (Band 1) (Berlin: Springer, 1924) capitolo 3

Voci correlate

Collegamenti esterni

  • (EN) integral equation, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc. Modifica su Wikidata
  • (EN) B.V. Khvedelidze, Integral equation, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
  • (EN) B.V. Khvedelidze, Non-linear integral equation, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
  • (EN) V.I. Dmitriev, Wiener-Hopf equation, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
  • Cornelis van der Mee Equazioni Integrali (Università degli studi di Cagliari)
  • (EN) MathWorld Integral Equations
  • (EN) EqWorld Integral Equations: solutions
  • (EN) EqWorld Integral Equations: methods
  • V. Daniele - Tecniche Wiener-Hopf per lo studio di onde in regioni con discontinuita geometriche (PDF), su personal.delen.polito.it.
Controllo di autoritàThesaurus BNCF 26984 · LCCN (EN) sh85067088 · BNF (FR) cb11955417x (data) · J9U (EN, HE) 987007555516205171 · NDL (EN, JA) 00570561
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