Equazioni di Jefimenko

In elettromagnetismo, le equazioni di Jefimenko descrivono il comportamento del campo elettrico e del campo magnetico in funzione di sorgenti arbitrarie dipendenti dal tempo. Le equazioni, dovute a Oleg D. Jefimenko, sono pertanto soluzione delle equazioni di Maxwell per una distribuzione assegnata di cariche e correnti al tempo ritardato, e permettono di generalizzare la legge di Coulomb e la legge di Biot-Savart.[1][2]

Le equazioni

Il vettore r {\displaystyle \mathbf {r} } è la posizione in cui viene calcolato il campo rispetto alla sorgente, integrata rispetto alla variabile r ′ {\displaystyle \mathbf {r'} } .

Le equazioni di Jefimenko forniscono il campo elettrico ed il campo magnetico prodotti da una generica distribuzione di carica ρ {\displaystyle \rho } o corrente elettrica J {\displaystyle \mathbf {J} } dipendente dal tempo, ed hanno la seguente forma:[3]

E ( r , t ) = 1 4 π ε 0 ∫ [ ( ρ ( r ′ , t r ) | r − r ′ | 3 + 1 | r − r ′ | 2 c ∂ ρ ( r ′ , t r ) ∂ t ) ( r − r ′ ) − 1 | r − r ′ | c 2 ∂ J ( r ′ , t r ) ∂ t ] d 3 r ′ {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \left[\left({\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}c}}{\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right)(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')-{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}
B ( r , t ) = μ 0 4 π ∫ [ J ( r ′ , t r ) | r − r ′ | 3 + 1 | r − r ′ | 2 c ∂ J ( r ′ , t r ) ∂ t ] × ( r − r ′ ) d 3 r ′ {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \left[{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}c}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}

dove r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} è un punto all'interno della distribuzione di carica, r {\displaystyle \mathbf {r} } è un punto nello spazio e:

t r = t − | r − r ′ | c {\displaystyle t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}}

è il tempo ritardato. Le espressioni per i campi nella materia D {\displaystyle \mathbf {D} } e H {\displaystyle \mathbf {H} } hanno la stessa forma.[4]

Derivazione a partire dai potenziali ritardati

Lo stesso argomento in dettaglio: Potenziali ritardati.

Si possono derivare le equazioni di Jefimenko a partire dai potenziali ritardati φ {\displaystyle \varphi } ed A {\displaystyle \mathbf {A} } ,[5] che hanno la forma:

φ ( r , t ) = 1 4 π ε 0 ∫ ρ ( r ′ , t r ) | r − r ′ | d 3 r ′ A ( r , t ) = μ 0 4 π ∫ J ( r ′ , t r ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\dfrac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\qquad \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\dfrac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}

I potenziali sono soluzione delle equazioni di Maxwell, e pertanto sostituendo la loro espressione nella definizione del potenziale elettromagnetico stesso:

E = − ∇ φ − ∂ A ∂ t B = ∇ × A {\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\dfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,\qquad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }

ed utilizzando la relazione:

c 2 = 1 ε 0 μ 0 {\displaystyle c^{2}={\frac {1}{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}

si possono ottenere le equazioni di Jefimenko rimpiazzando φ {\displaystyle \varphi } ed A {\displaystyle \mathbf {A} } con i campi E {\displaystyle \mathbf {E} } e B {\displaystyle \mathbf {B} } .

Note

  1. ^ Oleg D. Jefimenko, Electricity and Magnetism: An Introduction to the Theory of Electric and Magnetic Fields, Appleton-Century-Crofts (New-York - 1966). 2nd ed.: Electret Scientific (Star City - 1989), ISBN 978-0-917406-08-9.
  2. ^ David J. Griffiths, Mark A. Heald, Time-dependent generalizations of the Biot-Savart and Coulomb laws, American Journal of Physics 59 (2) (1991), 111-117.
  3. ^ Jackson, Pag. 247.
  4. ^ Oleg D. Jefimenko, Solutions of Maxwell's equations for electric and magnetic fields in arbitrary media, American Journal of Physics 60 (10) (1992), 899-902
  5. ^ Introduction to Electrodynamics (3rd Edition), D.J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3

Bibliografia

  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.
  • Richard P. Feynman, La fisica di Feynman, Vol 2, Zanichelli, ISBN 8808142981

Voci correlate

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