Forza centrale

In meccanica classica, una forza centrale è una forza diretta lungo la congiungente del punto di applicazione e un punto fisso, detto centro della forza, e tale che in ogni momento il modulo sia funzione esclusivamente del raggio vettore tra il punto di applicazione della forza e il centro.

Per convenzione, il verso della forza si intende verso l'esterno rispetto al centro di forza. Per tale motivo, se la forza è uscente dal centro di forza essa è detta repulsiva, al contrario, se è entrante allora essa è detta attrattiva:

F = F ( r ) r ^ {\displaystyle \mathbf {F} =F(\mathbf {r} )\mathbf {\hat {r}} }

Le forze centrali sono dette a simmetria sferica se il modulo della forza dipende unicamente dalla distanza tra il punto di applicazione e il centro O e non dall'orientazione del raggio vettore che congiunge i due punti:

F = F ( r ) r ^ {\displaystyle \mathbf {F} =F(r)\mathbf {\hat {r}} }

Esempi di forze centrali sono:

  • la forza gravitazionale, proporzionale a 1/r2, di verso opposto al vettore posizione (forza attrattiva);
  • la forza elettrostatica, proporzionale a 1/r2; il segno delle cariche elettriche interagenti determina se è attrattiva o repulsiva;
  • la forza elastica, nel caso di una molla ancorata nell'origine del sistema di riferimento, proporzionale a r, di verso opposto al vettore posizione (forza attrattiva).

Momento meccanico

In un campo di forze centrali, il momento meccanico rispetto al polo O è ovunque nullo:

M = r × F = r F sin ⁡ 0 = 0. {\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} =rF\sin 0=0.}

A causa di ciò si conserva il momento angolare:

M = d L d t = 0. {\displaystyle \mathbf {M} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=0.}

Per un punto materiale il momento angolare è definito come L = r × m v {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} } ; siccome L {\displaystyle \mathbf {L} } è perpendicolare al piano in cui giace la traiettoria (individuato da r {\displaystyle \mathbf {r} } e v {\displaystyle \mathbf {v} } ) ed è costante, segue che l'intera orbita giace su un piano costante, ovvero che il moto avviene su un piano.

Inoltre ciò comporta che la velocità areolare è costante

Conservatività

Le forze centrali sono anche forze conservative. Questo si può mostrare verificando esplicitamente che il lavoro non dipenda dalla curva su cui è stato calcolato. Consideriamo una forza F {\displaystyle \mathbf {F} } centrale e un qualsiasi percorso γ {\displaystyle \gamma } di estremi A e B. Poiché per ipotesi:

F = F ( r ) r ^ {\displaystyle \mathbf {F} =F(r)\mathbf {\hat {r}} }

dove r ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {r}} } è il versore relativo al vettore posizione, si ha:

L A B = ∫ A B F ( r ) r ^ ⋅ d s {\displaystyle {\mathcal {L}}_{AB}=\int _{A}^{B}F(r)\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} }

Siccome in coordinate polari il vettore spostamento elementare è d s = d r = d r r ^ + r d ϑ ϑ ^ {\displaystyle \,\mathop {} \!\mathrm {d} \mathbf {s} =\mathop {} \!\mathrm {d} \mathbf {r} =\mathop {} \!\mathrm {d} r\,\mathbf {\hat {r}} +r\mathop {} \!\mathrm {d} \vartheta \,\mathbf {\hat {\vartheta }} } , abbiamo:

L A B = ∫ r A r B F ( r ) d r {\displaystyle {\mathcal {L}}_{AB}=\int _{r_{A}}^{r_{B}}F(r)\mathop {} \!\mathrm {d} r}

Quindi il lavoro compiuto dalla forza dipende solo dalle distanze di partenza e di arrivo del punto di applicazione. Se la f è integrabile abbiamo esplicitamente una funzione potenziale ed un'energia potenziale associate. L'energia potenziale è

U ( r ) = − ∫ r 0 r F ( r ) d r {\displaystyle U(r)=-\int _{r_{0}}^{r}F(r)\mathop {} \!\mathrm {d} r}

con r 0 {\displaystyle r_{0}} posto arbitrariamente uguale a + ∞ {\displaystyle +\infty } per forze nulle all'infinito.

In quanto conservativi, per i campi a forze centrali vale la seguente relazione: F ( r ^ ) = − ∇ U ( r ^ ) {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {\hat {r}} )=-\nabla U(\mathbf {\hat {r}} )} . Preso il generico campo di forze centrali

F ( r ) = − k r 2 u r {\displaystyle \mathbf {F} (r)=-{k \over r^{2}}\mathbf {u} _{r}} ,

con u r {\displaystyle \mathbf {u} _{r}} versore di direzione radiale e k ∈ R {\displaystyle k\in \mathbb {R} } , si definisce la funzione di energia potenziale:

U ( r ) = − k r r = x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle U(r)=-{k \over r}\qquad r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}} .

Dunque, calcoliamo

{ ∂ U ∂ x = − k ∂ ∂ x ( 1 x 2 + y 2 + z 2 ) = − k [ − 1 2 2 x ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 ] = k x r 3 ∂ U ∂ y = − k ∂ ∂ y ( 1 x 2 + y 2 + z 2 ) = − k [ − 1 2 2 y ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 ] = k y r 3 ∂ U ∂ z = − k ∂ ∂ z ( 1 x 2 + y 2 + z 2 ) = − k [ − 1 2 2 z ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 ] = k z r 3 {\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {\partial U \over \partial x}=-k{\partial \over \partial x}\left({\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)=-k\left[-{\frac {1}{2}}{2x \over {\sqrt[{2}]{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3}}}}\right]=k{x \over r^{3}}\\\displaystyle {\partial U \over \partial y}=-k{\partial \over \partial y}\left({\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)=-k\left[-{\frac {1}{2}}{2y \over {\sqrt[{2}]{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3}}}}\right]=k{y \over r^{3}}\\\displaystyle {\partial U \over \partial z}=-k{\partial \over \partial z}\left({\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)=-k\left[-{\frac {1}{2}}{2z \over {\sqrt[{2}]{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3}}}}\right]=k{z \over r^{3}}\\\end{cases}}}

Dal sistema segue che

∇ U ( r ^ ) = ( k x r 3 , k y r 3 , k z r 3 ) ⟹ − ∇ U ( r ^ ) = ( − k x r 3 , − k y r 3 , − k z r 3 ) = − k x r 3 ı ^ − k y r 3 ȷ ^ − k z r 3 k ^ {\displaystyle \nabla U(\mathbf {\hat {r}} )=\left(k{x \over r^{3}},k{y \over r^{3}},k{z \over r^{3}}\right)\implies -\nabla U(\mathbf {\hat {r}} )=\left(-k{x \over r^{3}},-k{y \over r^{3}},-k{z \over r^{3}}\right)=-k{x \over r^{3}}{\hat {\imath }}-k{y \over r^{3}}{\hat {\jmath }}-k{z \over r^{3}}{\hat {k}}}

Essendo r ^ = x ı ^ + y ȷ ^ + z k ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =x{\hat {\imath }}+y{\hat {\jmath }}+z{\hat {k}}} , si ha:

− ∇ U ( r ) = − k r 2 u r {\displaystyle -\nabla U(\mathbf {r} )=-{k \over r^{2}}\mathbf {u} _{r}}

Si può anche mostrare che una forza centrale è irrotazionale: si può verificare che il rotore di una forza centrale è nullo ovunque (è necessario che f(r) sia una funzione continua e derivabile nel suo dominio di definizione):

∇ × F = | e r e θ e ϕ ∂ ∂ r 1 r ∂ ∂ θ 1 r sin ⁡ θ ∂ ∂ ϕ F ( r ) 0 0 | = 0 {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{r}&\mathbf {e} _{\theta }&\mathbf {e} _{\phi }\\{\dfrac {\partial }{\partial r}}&{\dfrac {1}{r}}{\dfrac {\partial }{\partial \theta }}&{\dfrac {1}{r\sin \theta }}{\dfrac {\partial }{\partial \phi }}\\F(r)&0&0\end{vmatrix}}=0}

L'irrotazionalità del campo è necessaria per la sua conservatività ma non basta: la funzione deve essere definita su un dominio semplicemente connesso (per esempio le forze gravitazionale e di Coulomb).

Voci correlate

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