Funzione di Dirichlet

La funzione di Dirichlet è una funzione di variabile reale, che assume due soli valori, diversi a seconda che la variabile indipendente sia razionale o irrazionale. Questa funzione fu introdotta da Peter Dirichlet come esempio di funzione molto lontana dalle tradizionali funzioni note fino ad allora nell'analisi matematica.

Definizione

La funzione di Dirichlet è definita nel modo seguente:

χ ( x ) = { 1 , x ∈ Q , 0 , x ∈ R ∖ Q . {\displaystyle \chi (x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} ,\\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} .\end{cases}}}

È la funzione indicatrice dell'insieme dei razionali Q {\displaystyle \mathbb {Q} } . Viene talora chiamata funzione di Dirichlet la funzione definita a valori invertiti:

χ ( x ) = { 0 , x ∈ Q , 1 , x ∈ R ∖ Q . {\displaystyle \chi (x)={\begin{cases}0,&x\in \mathbb {Q} ,\\1,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} .\end{cases}}}

Nel seguito quest'ultima funzione sarà indicata come 1 − χ {\displaystyle 1-\chi } .

Continuità e integrabilità

La funzione di Dirichlet è una funzione che non è continua in nessun punto del dominioː poiché sia Q {\displaystyle \mathbb {Q} } sia l'insieme dei numeri irrazionali sono densi in R {\displaystyle \mathbb {R} } , ogni intorno di qualsiasi punto contiene sempre almeno un numero razionale e un numero irrazionale (in effetti infiniti punti per entrambe le categorie), e quindi due punti in cui la funzione assume valore 0 e 1.

La funzione è non integrabile secondo Riemann ma integrabile secondo Lebesgue. Poiché la funzione assume quasi ovunque valore 0 (essendo l'insieme dei numeri razionali un insieme di misura nulla poiché l'insieme dei numeri razionali è numerabile, mentre gli irrazionali non lo sono) il risultato dell'operazione di integrazione su qualunque intervallo [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} è 0. Per analoghe ragioni, l'integrale della funzione 1 − χ {\displaystyle 1-\chi } sull'intervallo [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} vale b − a {\displaystyle b-a} .

Altre proprietà

Il grafico della funzione apparirebbe come due rette orizzontali, di ordinata 0 e 1, "sbiadite", ovvero fatte di tanti punti infinitamente vicini e "buchi" puntiformi infinitamente vicini.

La funzione di Dirichlet è approssimabile mediante funzioni continue secondo la formula seguente:

χ ( x ) = lim n → ∞ ( lim m → ∞ cos ⁡ ( π n ! x ) 2 m ) . {\displaystyle \chi (x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\lim _{m\rightarrow \infty }\cos \left(\pi n!x\right)^{2m}\right).}

La funzione 1 − χ {\displaystyle 1-\chi } presenta inoltre un minimo relativo e assoluto improprio per ogni x {\displaystyle x} razionale, ed un massimo relativo e assoluto improprio per ogni x {\displaystyle x} irrazionale.

Funzione di Dirichlet modificata

Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione di Thomae.

Nel 1854 Bernhard Riemann descrisse una variante (detta anche funzione di Thomae) della funzione di Dirichlet, che pur essendo discontinua su ogni intervallo della retta reale, è integrabile secondo Riemann. Una possibile definizione di questa funzione è:

X ( x ) = { 1 q , x = p q , con  p q  ridotta ai minimi termini , 0 , x ∈ R ∖ Q . {\displaystyle \mathrm {X} (x)={\begin{cases}{\frac {1}{q}},&x={\frac {p}{q}},{\mbox{con }}{\frac {p}{q}}{\mbox{ ridotta ai minimi termini}},\\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} .\end{cases}}}

Questa funzione è integrabile secondo Riemann perché dato un qualunque valore positivo ε {\displaystyle \varepsilon } , la funzione supera ε {\displaystyle \varepsilon } solamente in un numero finito di punti; le somme integrali che approssimano il valore dell'integrale tendono quindi a zero. Inoltre, la funzione è anche continua in ogni valore irrazionale di x {\displaystyle x} : preso infatti un numero irrazionale x 0 {\displaystyle x_{0}} e fissato un valore positivo ε {\displaystyle \varepsilon } , esiste sempre un intorno di x 0 {\displaystyle x_{0}} in cui X ( x 0 ) < ε {\displaystyle \mathrm {X} (x_{0})<\varepsilon } ; segue quindi che:

lim x → x 0 X ( x ) = 0. {\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}\mathrm {X} (x)=0.}

Bibliografia

  • John Stillwell, Il teorema fondamentale del calcolo, in Claudio Bartocci e Piergiorgio Odifreddi (a cura di), La Matematica II - Problemi e teoremi, Torino, Einaudi, 2008, ISBN 978-88-06-16425-6.

Voci correlate

Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Funzione di Dirichlet, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
  • Una discussione sull'integrabilità della funzione di Dirichlet, su vialattea.net.
  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica