Integrale di Fresnel

Gli integrali di Fresnel, $S(x)$ e $C(x)$ , sono due funzioni speciali trascendenti introdotte in ottica dall'ingegnere francese Augustin-Jean Fresnel per studiare i fenomeni della diffrazione.

{\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}\sin \left({\frac {\pi }{2}}t^{2}\right)\,dt} — Grafico degli integrali di Fresnel normalizzati: $S(x)=\int _{0}^{x}\sin \left({\frac {\pi }{2}}t^{2}\right)\,dt$ e $C(x)=\int _{0}^{x}\cos \left({\frac {\pi }{2}}t^{2}\right)\,dt$ .

Definizione

Esse sono definite attraverso le seguenti rappresentazioni:

{\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}\sin \left(t^{2}\right)\,dt} — Grafico degli stessi integrali *non* normalizzati: $S(x)=\int _{0}^{x}\sin \left(t^{2}\right)\,dt$ e $C(x)=\int _{0}^{x}\cos \left(t^{2}\right)\,dt$ .

S(x):=\int _{0}^{x}\sin \left({\frac {\pi }{2}}t^{2}\right)\,dt

C(x):=\int _{0}^{x}\cos \left({\frac {\pi }{2}}t^{2}\right)\,dt

anche se altri autori preferiscono definirle senza il ${\frac {\pi }{2}}$ nell'argomento di seno e coseno.

Proprietà

$S(x)$ e $C(x)$ sono funzioni dispari.
$C(iz)=iC(z)$
$S(iz)=-iS(z)$
Gli integrali di Fresnel non possono essere calcolati in forma chiusa in termini di funzioni elementari, salvo casi particolari. Infatti essi convergono all'infinito e si ha:
$\lim _{x\to +\infty }S(x)=\lim _{x\to +\infty }C(x)={\frac {1}{2}}\,.$

Dimostrazione limite per x tendente all'infinito

Poiché gli integrali di Fresnel non possono essere calcolati coi metodi tradizionali, una possibile dimostrazione di

\int _{0}^{+\infty }\cos {(x^{2})}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}

sfrutta l'analisi complessa e il risultato dell'integrale di Gauss $\int _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}$ . L'integrale di partenza può essere scritto come parte reale di un numero complesso secondo quella che è la forma polare di un numero complesso:

\int _{0}^{+\infty }\cos {(x^{2})}\,dx=\Re {\left(\int _{0}^{+\infty }e^{ix^{2}}dx\right)}.

{\displaystyle \gamma } — Curva semplice chiusa $\gamma$ nel piano complesso, suddivisa in $\gamma _{1}$ , $\gamma _{2}$ e $\gamma _{3}$ .

Per calcolare il secondo integrale si sfrutta il teorema di Cauchy-Goursat scegliendo come cammino chiuso di integrazione la curva chiusa $\gamma$ suddivisibile nei tre tratti $\gamma _{1}$ , $\gamma _{2}$ e $\gamma _{3}$ come in figura:

\oint _{\gamma }e^{iz^{2}}dz=\int _{\gamma _{1}}e^{iz^{2}}dz+\int _{\gamma _{2}}e^{iz^{2}}dz+\int _{\gamma _{3}}e^{iz^{2}}dz=0\,.

Questa operazione si può fare perché la funzione $e^{iz^{2}}$ è analitica in $\mathbb {C}$ , che è semplicemente connesso.

Nel piano complesso $\gamma _{3}$ ha equazione $z=re^{i\vartheta }$ , con $r$ variabile; per ricondursi all'integrale della gaussiana si impone che l'inclinazione di tale retta sia tale che $iz^{2}=i{\left(re^{i\vartheta }\right)}^{2}=-r^{2}$ , ovvero $\vartheta ={\frac {\pi }{4}}$ . Il terzo integrale diventa quindi

\int _{\gamma _{3}}e^{iz^{2}}dz=\int _{R}^{0}e^{-r^{2}}e^{i{\frac {\pi }{4}}}\,dr\,,

che per $x$ , ovvero $R\rightarrow +\infty$ , vale

\lim _{R\rightarrow +\infty }e^{i{\frac {\pi }{4}}}\int _{R}^{0}e^{-r^{2}}dr=-e^{i{\frac {\pi }{4}}}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\,.

La curva $\gamma _{2}$ può essere parametrizzata come $z=Re^{i\vartheta }$ , questa volta con $\vartheta$ variabile. Il secondo integrale diventa

\int _{\gamma _{2}}e^{iz^{2}}dz=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}e^{iR^{2}e^{2i\vartheta }}(iR)\,e^{i\vartheta }\,d\vartheta =iR\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}e^{iR^{2}\cos {(2\vartheta )}+i\vartheta }e^{-R^{2}\sin {(2\vartheta )}}\,d\vartheta \,.

Per $0\leq \vartheta \leq {\frac {\pi }{4}}$ , $\sin {(2\vartheta )}\geq 0$ e $\cos {(2\vartheta )}\geq 0$ , e vale la disuguaglianza $\sin {\vartheta }>{\frac {2}{\pi }}\vartheta$ . Ponendo $2\vartheta =\varphi$ , è possibile fare la seguente maggiorazione:

0\leq \left|{\frac {R}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{iR^{2}\cos {\varphi }+i{\frac {\varphi }{2}}}e^{-R^{2}\sin {\varphi }}\,d\varphi \right|\leq {\frac {R}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left|e^{iR^{2}\cos {\varphi }+i{\frac {\varphi }{2}}}\right|\,\left|e^{-R^{2}\sin {\varphi }}\right|d\varphi ={\frac {R}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{-R^{2}\sin {\varphi }}\,d\varphi \leq {\frac {R}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{-R^{2}{\frac {2}{\pi }}\varphi }\,d\varphi =-{\frac {\pi }{4R}}\left(e^{-R^{2}}-1\right),

e dal teorema del confronto, segue che per $R\rightarrow +\infty$ il secondo integrale vale $0$ .

La curva $\gamma _{1}$ , infine, può essere parametrizzata come $z=x=R$ . Dal teorema di Cauchy-Goursat

\int _{0}^{+\infty }e^{ix^{2}}dx=\int _{\gamma _{1}}e^{iz^{2}}dz=-\int _{\gamma _{3}}e^{iz^{2}}dz=e^{i{\frac {\pi }{4}}}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\,.

L'integrale di Fresnel cercato diventa perciò

\int _{0}^{+\infty }\cos {(x^{2})}\,dx=\Re {\left(\int _{0}^{+\infty }e^{ix^{2}}\,dx\right)}=\Re {\left(e^{i{\frac {\pi }{4}}}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\right)}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}\,,

come volevasi dimostrare.

Relazione con altre funzioni speciali

C(z)+iS(z)=zM\left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},i{\frac {\pi }{2}}z^{2}\right),

dove $M$ denota una funzione ipergeometrica confluente.

La relazione con la funzione degli errori è:

C(z)+iS(z)={\frac {1+i}{2}}\mathrm {erf} \left[{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}(1-i)z\right].

Bibliografia

M. Abramowitz e I. Stegun Handbook of Mathematical Functions (Dover, New York, 1972) p. 300
P. Drude Theory of Optics (Longmans, Green, and Co., New York, 1902) p. 188-203